点 $A(5,1)$ から円 $x^2 + y^2 = 13$ に2本の接線を引き、接点を $P, Q$ とする。直線 $PQ$ の方程式と線分 $PQ$ の長さを求めよ。

1. 問題の内容

点 $A(5,1)$ から円 $x^2 + y^2 = 13$ に2本の接線を引き、接点を $P, Q$ とする。直線 $PQ$ の方程式と線分 $PQ$ の長さを求めよ。

2. 解き方の手順

直線 $PQ$ は、点 $A$ から円に引いた2本の接線の接点を通る直線であるから、極線の方程式を用いて求めることができる。

円 $x^2 + y^2 = r^2$ 上の点 $(x_1, y_1)$ における接線の方程式は $x_1x + y_1y = r^2$ である。

点 $A(5,1)$ から円 $x^2 + y^2 = 13$ に引いた接線の接点を $P(x_1, y_1)$, $Q(x_2, y_2)$ とすると、2つの接線の方程式はそれぞれ $x_1x + y_1y = 13$ および $x_2x + y_2y = 13$ と表せる。

点 $A(5,1)$ はこれらの接線上にあるので、

$5x_1 + y_1 = 13$

$5x_2 + y_2 = 13$

この2式は、2点 $P(x_1, y_1)$, $Q(x_2, y_2)$ が直線 $5x + y = 13$ 上にあることを示している。

したがって、直線 $PQ$ の方程式は $5x + y = 13$ である。

次に、線分 $PQ$ の長さを求める。

円の中心 $O(0,0)$ から直線 $PQ: 5x + y = 13$ までの距離 $d$ は、

$d = \frac{|5(0) + (0) - 13|}{\sqrt{5^2 + 1^2}} = \frac{13}{\sqrt{26}} = \frac{13\sqrt{26}}{26} = \frac{\sqrt{26}}{2}$

円の半径 $r = \sqrt{13}$

$PQ$ の中点を $M$ とすると、三角形 $OPM$ は直角三角形であり、

$OM = d = \frac{\sqrt{26}}{2}$, $OP = r = \sqrt{13}$

よって、$PM = \sqrt{OP^2 - OM^2} = \sqrt{13 - \frac{26}{4}} = \sqrt{\frac{52 - 26}{4}} = \sqrt{\frac{26}{4}} = \frac{\sqrt{26}}{2}$

したがって、$PQ = 2PM = 2(\frac{\sqrt{26}}{2}) = \sqrt{26}$

3. 最終的な答え

直線 $PQ$ の方程式: $5x + y = 13$

線分 $PQ$ の長さ: $\sqrt{26}$