$\theta$ が鈍角で、$\sin \theta = \frac{1}{3}$ のとき、$\cos \theta$ と $\tan \theta$ の値を求める問題です。

1. 問題の内容

$\theta$ が鈍角で、$\sin \theta = \frac{1}{3}$ のとき、$\cos \theta$ と $\tan \theta$ の値を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、三角関数の基本公式 $\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1$ を用います。

$\sin \theta = \frac{1}{3}$ を代入して、$\cos^2 \theta$ を求めます。

$\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1$

$\cos^2 \theta = 1 - \sin^2 \theta$

$\cos^2 \theta = 1 - (\frac{1}{3})^2$

$\cos^2 \theta = 1 - \frac{1}{9}$

$\cos^2 \theta = \frac{8}{9}$

次に、$\cos \theta$ を求めます。$\theta$ が鈍角であることから、$\cos \theta < 0$ となります。したがって、

$\cos \theta = -\sqrt{\frac{8}{9}}$

$\cos \theta = -\frac{\sqrt{8}}{3}$

$\cos \theta = -\frac{2\sqrt{2}}{3}$

最後に、$\tan \theta$ を求めます。$\tan \theta = \frac{\sin \theta}{\cos \theta}$ を用います。

$\tan \theta = \frac{\frac{1}{3}}{-\frac{2\sqrt{2}}{3}}$

$\tan \theta = \frac{1}{3} \div (-\frac{2\sqrt{2}}{3})$

$\tan \theta = \frac{1}{3} \times (-\frac{3}{2\sqrt{2}})$

$\tan \theta = -\frac{1}{2\sqrt{2}}$

$\tan \theta = -\frac{\sqrt{2}}{4}$

3. 最終的な答え

$\cos^2 \theta = \frac{8}{9}$

$\cos \theta = -\frac{2\sqrt{2}}{3}$

$\tan \theta = -\frac{\sqrt{2}}{4}$