三角形ABCにおいて、$b=3$, $c=4$, $A=120^\circ$のとき、面積Sを求め、$S = \frac{1}{\boxed{ア}} \times 3 \times \boxed{イ} \times \sqrt{\frac{\boxed{ウ}}{\boxed{エ}}} = \boxed{オ} \sqrt{\boxed{カ}}$の空欄を埋める。

1. 問題の内容

三角形ABCにおいて、$b=3$, $c=4$, $A=120^\circ$のとき、面積Sを求め、$S = \frac{1}{\boxed{ア}} \times 3 \times \boxed{イ} \times \sqrt{\frac{\boxed{ウ}}{\boxed{エ}}} = \boxed{オ} \sqrt{\boxed{カ}}$の空欄を埋める。

2. 解き方の手順

三角形の面積の公式$S = \frac{1}{2}bc\sin A$を使う。

与えられた値を代入すると、

$S = \frac{1}{2} \times 3 \times 4 \times \sin 120^\circ$

$\sin 120^\circ = \sin (180^\circ - 60^\circ) = \sin 60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}$

したがって、

$S = \frac{1}{2} \times 3 \times 4 \times \frac{\sqrt{3}}{2} = 3\sqrt{3}$

ここで、$S = \frac{1}{\boxed{ア}} \times 3 \times \boxed{イ} \times \sqrt{\frac{\boxed{ウ}}{\boxed{エ}}}$と$S = 3\sqrt{3}$を比較する。

$\frac{1}{\boxed{ア}} = \frac{1}{2}$より、ア=2

$\boxed{イ} = 4$

$\sqrt{\frac{\boxed{ウ}}{\boxed{エ}}} = \frac{\sqrt{3}}{2}$なので、ウ=3, エ=4

$S = \frac{1}{2} \times 3 \times 4 \times \frac{\sqrt{3}}{2} = 3\sqrt{3}$

$3\sqrt{3} = \boxed{オ} \sqrt{\boxed{カ}}$より、オ=3, カ=3

3. 最終的な答え

ア=2

イ=4

ウ=3

エ=4

オ=3

カ=3

したがって、面積Sは$3\sqrt{3}$