ベクトル $\vec{a}$ と $\vec{b}$, $\vec{a} + \vec{b}$ と $\vec{a} - \vec{b}$ のなす角がともに $\frac{\pi}{3}$ である。$\vec{b}$ は単位ベクトルであるとき、$|\vec{a}|$ を求めよ。

1. 問題の内容

ベクトル $\vec{a}$ と $\vec{b}$, $\vec{a} + \vec{b}$ と $\vec{a} - \vec{b}$ のなす角がともに $\frac{\pi}{3}$ である。$\vec{b}$ は単位ベクトルであるとき、$|\vec{a}|$ を求めよ。

2. 解き方の手順

$\vec{a}$ と $\vec{b}$ のなす角を $\theta_1$、$\vec{a} + \vec{b}$ と $\vec{a} - \vec{b}$ のなす角を $\theta_2$ とする。問題文より $\theta_1 = \theta_2 = \frac{\pi}{3}$ である。

$\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}||\vec{b}| \cos \theta_1$

$|\vec{b}| = 1$ であるから

$\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}| \cos \frac{\pi}{3} = \frac{1}{2} |\vec{a}|$

$(\vec{a} + \vec{b}) \cdot (\vec{a} - \vec{b}) = |\vec{a} + \vec{b}| |\vec{a} - \vec{b}| \cos \theta_2$

$(\vec{a} + \vec{b}) \cdot (\vec{a} - \vec{b}) = |\vec{a}|^2 - |\vec{b}|^2 = |\vec{a}|^2 - 1$

$|\vec{a} + \vec{b}| |\vec{a} - \vec{b}| \cos \frac{\pi}{3} = \frac{1}{2} |\vec{a} + \vec{b}| |\vec{a} - \vec{b}|$

したがって

$|\vec{a}|^2 - 1 = \frac{1}{2} |\vec{a} + \vec{b}| |\vec{a} - \vec{b}|$

$|\vec{a} + \vec{b}|^2 = (\vec{a} + \vec{b}) \cdot (\vec{a} + \vec{b}) = |\vec{a}|^2 + 2 \vec{a} \cdot \vec{b} + |\vec{b}|^2 = |\vec{a}|^2 + 2 (\frac{1}{2} |\vec{a}|) + 1 = |\vec{a}|^2 + |\vec{a}| + 1$

$|\vec{a} - \vec{b}|^2 = (\vec{a} - \vec{b}) \cdot (\vec{a} - \vec{b}) = |\vec{a}|^2 - 2 \vec{a} \cdot \vec{b} + |\vec{b}|^2 = |\vec{a}|^2 - 2 (\frac{1}{2} |\vec{a}|) + 1 = |\vec{a}|^2 - |\vec{a}| + 1$

$|\vec{a} + \vec{b}| = \sqrt{|\vec{a}|^2 + |\vec{a}| + 1}$

$|\vec{a} - \vec{b}| = \sqrt{|\vec{a}|^2 - |\vec{a}| + 1}$

$|\vec{a}|^2 - 1 = \frac{1}{2} \sqrt{(|\vec{a}|^2 + |\vec{a}| + 1)(|\vec{a}|^2 - |\vec{a}| + 1)} = \frac{1}{2} \sqrt{(|\vec{a}|^2 + 1)^2 - |\vec{a}|^2} = \frac{1}{2} \sqrt{|\vec{a}|^4 + |\vec{a}|^2 + 1}$

両辺を2乗して

$(|\vec{a}|^2 - 1)^2 = \frac{1}{4} (|\vec{a}|^4 + |\vec{a}|^2 + 1)$

$4(|\vec{a}|^4 - 2|\vec{a}|^2 + 1) = |\vec{a}|^4 + |\vec{a}|^2 + 1$

$4|\vec{a}|^4 - 8|\vec{a}|^2 + 4 = |\vec{a}|^4 + |\vec{a}|^2 + 1$

$3|\vec{a}|^4 - 9|\vec{a}|^2 + 3 = 0$

$|\vec{a}|^4 - 3|\vec{a}|^2 + 1 = 0$

$x = |\vec{a}|^2$ とおくと

$x^2 - 3x + 1 = 0$

$x = \frac{3 \pm \sqrt{9 - 4}}{2} = \frac{3 \pm \sqrt{5}}{2}$

$|\vec{a}| = \sqrt{\frac{3 \pm \sqrt{5}}{2}}$

3. 最終的な答え

$|\vec{a}| = \sqrt{\frac{3 + \sqrt{5}}{2}}$ または $|\vec{a}| = \sqrt{\frac{3 - \sqrt{5}}{2}}$