三角形ABCの内部の点Pが $\vec{AP} + 3\vec{BP} + 2\vec{CP} = \vec{0}$ を満たす。 このとき、$\vec{AP} = \frac{1}{1} \vec{AB} + \frac{1}{2} \vec{AC}$ である。 また、直線APと辺BCの交点をDとするとき、$\vec{AP} = \frac{3}{4} \vec{AD}$、BD:CD = 5:6 の関係がある。 このことから、$\triangle ABC : \triangle APC = 7 : 1$ である。 $|\vec{AB}| = 2$, $|\vec{AC}| = \sqrt{3}$, $|\vec{AC} - \vec{AB}| = \sqrt{13}$ のとき、$\vec{AB} \cdot \vec{AC} = -8$ であり、これより $\angle BAC = 9 10 11 ^\circ$, $\triangle BAC = \frac{12}{13}$ である。

1. 問題の内容

三角形ABCの内部の点Pが $\vec{AP} + 3\vec{BP} + 2\vec{CP} = \vec{0}$ を満たす。

このとき、$\vec{AP} = \frac{1}{1} \vec{AB} + \frac{1}{2} \vec{AC}$ である。

また、直線APと辺BCの交点をDとするとき、$\vec{AP} = \frac{3}{4} \vec{AD}$、BD:CD = 5:6 の関係がある。

このことから、$\triangle ABC : \triangle APC = 7 : 1$ である。

$|\vec{AB}| = 2$, $|\vec{AC}| = \sqrt{3}$, $|\vec{AC} - \vec{AB}| = \sqrt{13}$ のとき、$\vec{AB} \cdot \vec{AC} = -8$ であり、これより $\angle BAC = 9 10 11 ^\circ$, $\triangle BAC = \frac{12}{13}$ である。

2. 解き方の手順

$\vec{AP} + 3\vec{BP} + 2\vec{CP} = \vec{0}$ より、

$\vec{AP} + 3(\vec{AP} - \vec{AB}) + 2(\vec{AP} - \vec{AC}) = \vec{0}$

$6\vec{AP} = 3\vec{AB} + 2\vec{AC}$

$\vec{AP} = \frac{1}{2}\vec{AB} + \frac{1}{3}\vec{AC}$

したがって、

$\vec{AP} = \frac{1}{2} \vec{AB} + \frac{1}{3} \vec{AC}$

$\vec{AD} = k(\frac{1}{2}\vec{AB} + \frac{1}{3}\vec{AC})$

$\vec{AD} = \frac{1}{2}k \vec{AB} + \frac{1}{3} k \vec{AC}$

DはBC上にあるので、$\frac{1}{2}k + \frac{1}{3}k = 1$

$\frac{5}{6}k = 1$

$k = \frac{6}{5}$

$\vec{AD} = \frac{3}{5}\vec{AB} + \frac{2}{5}\vec{AC}$

よって、BD:DC = 2:3

$\vec{AP} = \frac{3}{4} \vec{AD} = \frac{3}{4} (\frac{3}{5}\vec{AB} + \frac{2}{5}\vec{AC}) = \frac{9}{20}\vec{AB} + \frac{6}{20}\vec{AC} = \frac{9}{20}\vec{AB} + \frac{3}{10}\vec{AC}$

$\vec{AP} = x \vec{AB} + y \vec{AC}$ とすると $x = \frac{1}{2}$, $y = \frac{1}{3}$.

$\vec{AP} = s\vec{AD}$

DはBC上にあるので $\vec{AD} = (1-t)\vec{AB} + t\vec{AC}$

$\vec{AP} = s(1-t)\vec{AB} + st\vec{AC}$

よって、$\frac{1}{2} = s(1-t)$, $\frac{1}{3} = st$

$|\vec{AC} - \vec{AB}|^2 = (\vec{AC} - \vec{AB}) \cdot (\vec{AC} - \vec{AB}) = |\vec{AC}|^2 - 2\vec{AC}\cdot\vec{AB} + |\vec{AB}|^2$

$13 = 3 - 2\vec{AC}\cdot\vec{AB} + 4$

$2\vec{AC}\cdot\vec{AB} = 7-13 = -6$

$\vec{AB}\cdot\vec{AC} = -3$

$\vec{AB} \cdot \vec{AC} = |\vec{AB}||\vec{AC}| \cos\angle BAC = 2\sqrt{3} \cos\angle BAC = -3$

$\cos \angle BAC = -\frac{3}{2\sqrt{3}} = -\frac{\sqrt{3}}{2}$

$\angle BAC = 150^{\circ}$

$\triangle ABC = \frac{1}{2} |\vec{AB}||\vec{AC}| \sin\angle BAC = \frac{1}{2} \cdot 2 \cdot \sqrt{3} \cdot \sin 150^{\circ} = \sqrt{3} \cdot \frac{1}{2} = \frac{\sqrt{3}}{2}$

3. 最終的な答え

1 : 2

2 : 3

5 : 2

6 : 5

7 : 150

8 : -3

9 10 11 : 150

12 : $\sqrt{3}$

13 : 2