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平面ABC上の点Pが $\overrightarrow{PA} + 2\overrightarrow{PB} + k\overrightarrow{PC} = \overrightarrow{0}$ を満たしている。$k=3$の場合と$k=-4$の場合について、$\overrightarrow{AP}$ を $\overrightarrow{AB}$ と $\overrightarrow{AC}$ で表し、点Pがどの領域にあるか答える。

幾何学ベクトル平面ベクトル線形結合三角形位置ベクトル
2025/7/13

1. 問題の内容

平面ABC上の点Pが PA→+2PB→+kPC→=0→\overrightarrow{PA} + 2\overrightarrow{PB} + k\overrightarrow{PC} = \overrightarrow{0} を満たしている。k=3k=3の場合とk=−4k=-4の場合について、AP→\overrightarrow{AP} を AB→\overrightarrow{AB} と AC→\overrightarrow{AC} で表し、点Pがどの領域にあるか答える。

2. 解き方の手順

(1) k=3k=3 のとき
PA→+2PB→+3PC→=0→\overrightarrow{PA} + 2\overrightarrow{PB} + 3\overrightarrow{PC} = \overrightarrow{0} より
AP→=2PB→+3PC→\overrightarrow{AP} = 2\overrightarrow{PB} + 3\overrightarrow{PC}
AP→=2(AB→−AP→)+3(AC→−AP→)\overrightarrow{AP} = 2(\overrightarrow{AB} - \overrightarrow{AP}) + 3(\overrightarrow{AC} - \overrightarrow{AP})
AP→=2AB→−2AP→+3AC→−3AP→\overrightarrow{AP} = 2\overrightarrow{AB} - 2\overrightarrow{AP} + 3\overrightarrow{AC} - 3\overrightarrow{AP}
6AP→=2AB→+3AC→6\overrightarrow{AP} = 2\overrightarrow{AB} + 3\overrightarrow{AC}
AP→=13AB→+12AC→\overrightarrow{AP} = \frac{1}{3}\overrightarrow{AB} + \frac{1}{2}\overrightarrow{AC}
AP→=sAB→+tAC→\overrightarrow{AP} = s\overrightarrow{AB} + t\overrightarrow{AC} とすると、s=13s = \frac{1}{3}、t=12t = \frac{1}{2} である。
s+t=13+12=56<1s + t = \frac{1}{3} + \frac{1}{2} = \frac{5}{6} < 1
したがって、点Pは三角形ABCの内部または周上にあり、特に領域①にある。
(2) k=−4k = -4 のとき
PA→+2PB→−4PC→=0→\overrightarrow{PA} + 2\overrightarrow{PB} - 4\overrightarrow{PC} = \overrightarrow{0} より
AP→=2PB→−4PC→\overrightarrow{AP} = 2\overrightarrow{PB} - 4\overrightarrow{PC}
AP→=2(AB→−AP→)−4(AC→−AP→)\overrightarrow{AP} = 2(\overrightarrow{AB} - \overrightarrow{AP}) - 4(\overrightarrow{AC} - \overrightarrow{AP})
AP→=2AB→−2AP→−4AC→+4AP→\overrightarrow{AP} = 2\overrightarrow{AB} - 2\overrightarrow{AP} - 4\overrightarrow{AC} + 4\overrightarrow{AP}
−AP→=2AB→−4AC→-\overrightarrow{AP} = 2\overrightarrow{AB} - 4\overrightarrow{AC}
AP→=−2AB→+4AC→\overrightarrow{AP} = -2\overrightarrow{AB} + 4\overrightarrow{AC}
AP→=sAB→+tAC→\overrightarrow{AP} = s\overrightarrow{AB} + t\overrightarrow{AC} とすると、s=−2s = -2、t=4t = 4 である。
点Pは、直線BCに関して点Aとは反対側にあり、領域⑥にある。

3. 最終的な答え

(1) AP→=13AB→+12AC→\overrightarrow{AP} = \frac{1}{3}\overrightarrow{AB} + \frac{1}{2}\overrightarrow{AC}、領域は①
(2) AP→=−2AB→+4AC→\overrightarrow{AP} = -2\overrightarrow{AB} + 4\overrightarrow{AC}、領域は⑥

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