三角形ABCの内部に点Pがあり、$\vec{PA} + 3\vec{PB} + 5\vec{PC} = \vec{0}$ が成り立っている。 (1) $\vec{AP}$ を $\vec{AB}$, $\vec{AC}$ で表す。 (2) 直線APとBCの交点をDとするとき、$AP:PD$, $BD:DC$ を求める。 (3) 面積比 $\triangle PAB : \triangle PBC : \triangle PCA$ を求める。

1. 問題の内容

三角形ABCの内部に点Pがあり、$\vec{PA} + 3\vec{PB} + 5\vec{PC} = \vec{0}$ が成り立っている。

(1) $\vec{AP}$ を $\vec{AB}$, $\vec{AC}$ で表す。

(2) 直線APとBCの交点をDとするとき、$AP:PD$, $BD:DC$ を求める。

(3) 面積比 $\triangle PAB : \triangle PBC : \triangle PCA$ を求める。

2. 解き方の手順

(1) $\vec{PA} + 3\vec{PB} + 5\vec{PC} = \vec{0}$ より、

$-\vec{AP} + 3(\vec{AB} - \vec{AP}) + 5(\vec{AC} - \vec{AP}) = \vec{0}$

$-\vec{AP} + 3\vec{AB} - 3\vec{AP} + 5\vec{AC} - 5\vec{AP} = \vec{0}$

$9\vec{AP} = 3\vec{AB} + 5\vec{AC}$

$\vec{AP} = \frac{3\vec{AB} + 5\vec{AC}}{9} = \frac{1}{3}\vec{AB} + \frac{5}{9}\vec{AC}$

(2) 点Dは直線AP上にあるので、$\vec{AD} = k\vec{AP}$ とおける。

また点Dは直線BC上にあるので、$\vec{AD} = s\vec{AB} + t\vec{AC}$ ($s+t = 1$) とおける。

$\vec{AD} = k\vec{AP} = k(\frac{1}{3}\vec{AB} + \frac{5}{9}\vec{AC}) = \frac{k}{3}\vec{AB} + \frac{5k}{9}\vec{AC}$

係数比較により、

$s = \frac{k}{3}$, $t = \frac{5k}{9}$

$s+t = 1$ より $\frac{k}{3} + \frac{5k}{9} = 1$

$\frac{3k + 5k}{9} = 1$

$8k = 9$

$k = \frac{9}{8}$

$\vec{AD} = \frac{9}{8}\vec{AP}$ より、 $AP:PD = 8:1$

$BD:DC = t:s = \frac{5k}{9} : \frac{k}{3} = \frac{5}{9}:\frac{1}{3} = 5:3$

(3) $\triangle ABC$ の面積をSとする。

$\vec{AP} = \frac{3\vec{AB} + 5\vec{AC}}{9}$

$\vec{AD} = \frac{3\vec{AB} + 5\vec{AC}}{8}$

$\frac{BD}{BC} = \frac{5}{8}$ より $\triangle ABD = \frac{5}{8}S$, $\triangle ADC = \frac{3}{8}S$

$\triangle PAB = \frac{PD}{AD} \times \triangle ABD = \frac{1}{9} \times \frac{5}{8}S = \frac{5}{72} S$

$\triangle PAC = \frac{PD}{AD} \times \triangle ADC = \frac{1}{9} \times \frac{3}{8}S = \frac{3}{72} S$

$\triangle PBC = S - \frac{5}{72}S - \frac{3}{72}S = \frac{64}{72}S = \frac{8}{9}S = \frac{64}{72}S$

$\triangle PAB : \triangle PBC : \triangle PCA = 5:64:3$

3. 最終的な答え

(1) $\vec{AP} = \frac{1}{3}\vec{AB} + \frac{5}{9}\vec{AC}$

(2) $AP:PD = 8:1$, $BD:DC = 5:3$

(3) $\triangle PAB : \triangle PBC : \triangle PCA = 5:64:3$