四面体OABCにおいて、辺ABの中点をMとする。このとき、ベクトル$\vec{OM}$は$\vec{OA}$と$\vec{OB}$で表され、さらに線分CMを1:2に内分する点をNとする。このとき、ベクトル$\vec{ON}$を$\vec{OA}$、$\vec{OB}$、$\vec{OC}$で表す問題である。 $\vec{OM} = \frac{1}{14}\vec{OA} + \frac{1}{15}\vec{OB}$ $\vec{ON} = \vec{OM} + \frac{16}{17}\vec{MC} = \frac{1}{18}\vec{OA} + \frac{1}{19}\vec{OB} + \frac{20}{21}\vec{OC}$

1. 問題の内容

四面体OABCにおいて、辺ABの中点をMとする。このとき、ベクトル$\vec{OM}$は$\vec{OA}$と$\vec{OB}$で表され、さらに線分CMを1:2に内分する点をNとする。このとき、ベクトル$\vec{ON}$を$\vec{OA}$、$\vec{OB}$、$\vec{OC}$で表す問題である。

$\vec{OM} = \frac{1}{14}\vec{OA} + \frac{1}{15}\vec{OB}$

$\vec{ON} = \vec{OM} + \frac{16}{17}\vec{MC} = \frac{1}{18}\vec{OA} + \frac{1}{19}\vec{OB} + \frac{20}{21}\vec{OC}$

2. 解き方の手順

まず、Mが辺ABの中点であることから、$\vec{OM}$を$\vec{OA}$と$\vec{OB}$で表す。

$\vec{OM} = \frac{\vec{OA} + \vec{OB}}{2}$

したがって、$\frac{1}{14} = \frac{1}{2}$と$\frac{1}{15} = \frac{1}{2}$なので、14と15はともに2となる。

次に、Nが線分CMを1:2に内分することから、$\vec{ON}$を$\vec{OC}$と$\vec{OM}$で表す。

$\vec{ON} = \frac{2\vec{OC} + \vec{OM}}{1+2} = \frac{1}{3}\vec{OM} + \frac{2}{3}\vec{OC}$

$\vec{OM} = \frac{\vec{OA} + \vec{OB}}{2}$を代入して、

$\vec{ON} = \frac{1}{3}(\frac{\vec{OA} + \vec{OB}}{2}) + \frac{2}{3}\vec{OC} = \frac{1}{6}\vec{OA} + \frac{1}{6}\vec{OB} + \frac{2}{3}\vec{OC}$

$\vec{MC} = \vec{OC} - \vec{OM} = \vec{OC} - \frac{\vec{OA} + \vec{OB}}{2}$

$\vec{ON} = \vec{OM} + \frac{16}{17}\vec{MC} = \frac{\vec{OA} + \vec{OB}}{2} + \frac{16}{17} (\vec{OC} - \frac{\vec{OA} + \vec{OB}}{2})$

$= \frac{\vec{OA} + \vec{OB}}{2} + \frac{16}{17}\vec{OC} - \frac{16}{17} (\frac{\vec{OA} + \vec{OB}}{2}) = \frac{\vec{OA} + \vec{OB}}{2} + \frac{16}{17}\vec{OC} - \frac{8}{17}(\vec{OA} + \vec{OB})$

$= (\frac{1}{2} - \frac{8}{17})\vec{OA} + (\frac{1}{2} - \frac{8}{17})\vec{OB} + \frac{16}{17}\vec{OC} = (\frac{17 - 16}{34})\vec{OA} + (\frac{17 - 16}{34})\vec{OB} + \frac{16}{17}\vec{OC}$

$= \frac{1}{34}\vec{OA} + \frac{1}{34}\vec{OB} + \frac{16}{17}\vec{OC} = \frac{1}{34}\vec{OA} + \frac{1}{34}\vec{OB} + \frac{32}{34}\vec{OC}$

したがって、

$\frac{1}{18} = \frac{1}{34}$, $\frac{1}{19} = \frac{1}{34}$, $\frac{20}{21} = \frac{32}{34} = \frac{16}{17}$

18 = 34

19 = 34

$\frac{20}{21} = \frac{32}{34} = \frac{16}{17} \Rightarrow 20 = 32 * 21/34 = (32*21)/34 = 32*21/(2*17) = 16 * 21/17$

3. 最終的な答え

14 = 2

15 = 2

16 = 16

17 = 17

18 = 6

19 = 6

20 = 2

21 = 3

$\vec{OM} = \frac{1}{2}\vec{OA} + \frac{1}{2}\vec{OB}$

$\vec{MC} = \vec{OC} - \vec{OM} = \vec{OC} - \frac{1}{2}\vec{OA} - \frac{1}{2}\vec{OB}$

$\vec{ON} = \vec{OM} + \frac{1}{3}\vec{MC} = \frac{1}{2}\vec{OA} + \frac{1}{2}\vec{OB} + \frac{1}{3}(\vec{OC} - \frac{1}{2}\vec{OA} - \frac{1}{2}\vec{OB})$

$= (\frac{1}{2} - \frac{1}{6})\vec{OA} + (\frac{1}{2} - \frac{1}{6})\vec{OB} + \frac{1}{3}\vec{OC} = \frac{1}{3}\vec{OA} + \frac{1}{3}\vec{OB} + \frac{1}{3}\vec{OC}$

従って、

14: 2

15: 2

16: 1

17: 3

18: 3

19: 3

20: 1

21: 3