白球2個と赤球3個が入っている袋から同時に3個の球を取り出すとき、そこに含まれる白球の個数の期待値を求めよ。

1. 問題の内容

白球2個と赤球3個が入っている袋から同時に3個の球を取り出すとき、そこに含まれる白球の個数の期待値を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、取り出される白球の個数は0, 1, 2のいずれかである。それぞれの確率を$p_0, p_1, p_2$とすると、

3個の球を取り出すので、白球の個数は最大で2個までです。(2個しかないため)

3個の球を取り出す方法は全部で${}_{5}C_3 = \frac{5!}{3!2!} = \frac{5 \times 4}{2} = 10$通りである。

* 白球が0個の場合: 赤球3個から3個選ぶので、${}_{3}C_3 = 1$通り。確率 $p_0 = \frac{1}{10}$

* 白球が1個の場合: 白球2個から1個、赤球3個から2個選ぶので、${}_{2}C_1 \times {}_{3}C_2 = 2 \times 3 = 6$通り。確率 $p_1 = \frac{6}{10}$

* 白球が2個の場合: 白球2個から2個、赤球3個から1個選ぶので、${}_{2}C_2 \times {}_{3}C_1 = 1 \times 3 = 3$通り。確率 $p_2 = \frac{3}{10}$

したがって、求める期待値は

$0 \times p_0 + 1 \times p_1 + 2 \times p_2$

$= 0 \times \frac{1}{10} + 1 \times \frac{6}{10} + 2 \times \frac{3}{10}$

$= 0 + \frac{6}{10} + \frac{6}{10}$

$= \frac{12}{10} = \frac{6}{5}$

3. 最終的な答え

$\frac{6}{5}$ 個