$a$ は正の定数とする。関数 $y = -x^2 + 4x + 1$ ($0 \leq x \leq a$) について、最大値を求めよ。

1. 問題の内容

$a$ は正の定数とする。関数 $y = -x^2 + 4x + 1$ ($0 \leq x \leq a$) について、最大値を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、与えられた二次関数を平方完成します。

$y = -x^2 + 4x + 1 = -(x^2 - 4x) + 1 = -(x^2 - 4x + 4 - 4) + 1 = -(x - 2)^2 + 4 + 1 = -(x - 2)^2 + 5$

したがって、この二次関数の頂点は $(2, 5)$ であり、上に凸な放物線です。

区間 $0 \leq x \leq a$ での最大値を考えます。

(i) $0 < a < 2$ のとき、区間 $0 \leq x \leq a$ で関数は単調増加なので、$x = a$ で最大値をとります。

最大値は $y = -a^2 + 4a + 1$

(ii) $a = 2$ のとき、$x = a=2$ で最大値をとります。

最大値は $y = -2^2 + 4(2) + 1 = -4 + 8 + 1 = 5$

(iii) $2 < a$ のとき、頂点の $x$ 座標 $x=2$ が区間 $0 \leq x \leq a$ に含まれるので、$x = 2$ で最大値をとります。

最大値は $y = 5$

以上をまとめると、

$0 < a \leq 2$ のとき、最大値は $-a^2 + 4a + 1$

$2 < a$ のとき、最大値は $5$

3. 最終的な答え

$0 < a \leq 2$ のとき、最大値は $-a^2 + 4a + 1$

$2 < a$ のとき、最大値は $5$