ある品物の売価が1個100円のときは、1日に300個の売り上げがある。売価を1個につき1円値上げすると、1日に2個の割合で売り上げが減る。1日の売り上げ金額を最大にするには、売価をいくらにするとよいか。消費税は考えないものとする。

1. 問題の内容

ある品物の売価が1個100円のときは、1日に300個の売り上げがある。売価を1個につき1円値上げすると、1日に2個の割合で売り上げが減る。1日の売り上げ金額を最大にするには、売価をいくらにするとよいか。消費税は考えないものとする。

2. 解き方の手順

売価を $x$ 円値上げするとする。

このとき、売価は $100 + x$ 円、売り上げ個数は $300 - 2x$ 個となる。

1日の売り上げ金額を $S$ とすると、

$S = (100+x)(300-2x)$

$S = 30000 - 200x + 300x - 2x^2$

$S = -2x^2 + 100x + 30000$

$S$ を最大にする $x$ を求めるために、$S$ を平方完成する。

$S = -2(x^2 - 50x) + 30000$

$S = -2(x^2 - 50x + 625 - 625) + 30000$

$S = -2((x - 25)^2 - 625) + 30000$

$S = -2(x - 25)^2 + 1250 + 30000$

$S = -2(x - 25)^2 + 31250$

したがって、$x = 25$ のとき、$S$ は最大値 31250 をとる。

売価は $100 + x = 100 + 25 = 125$ 円となる。

3. 最終的な答え

125円