関数 $y = \tan(\sqrt{1-x})$ の導関数 $dy/dx$ を求めます。

## 問題9の解答

1. 問題の内容

関数 $y = \tan(\sqrt{1-x})$ の導関数 $dy/dx$ を求めます。

2. 解き方の手順

* 合成関数の微分を利用します。

まず、$u = \sqrt{1-x}$ とおきます。

すると、$y = \tan(u)$ となります。

* $\frac{dy}{du}$ と $\frac{du}{dx}$ を求めます。

$$\frac{dy}{du} = \frac{d}{du} \tan(u) = \frac{1}{\cos^2(u)} = \sec^2(u)$$

$$u = \sqrt{1-x} = (1-x)^{\frac{1}{2}}$$

$$\frac{du}{dx} = \frac{d}{dx} (1-x)^{\frac{1}{2}} = \frac{1}{2}(1-x)^{-\frac{1}{2}} \cdot (-1) = -\frac{1}{2\sqrt{1-x}}$$

* $\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx}$ を計算します。

$$\frac{dy}{dx} = \sec^2(u) \cdot \left(-\frac{1}{2\sqrt{1-x}}\right) = \sec^2(\sqrt{1-x}) \cdot \left(-\frac{1}{2\sqrt{1-x}}\right)$$

$$\frac{dy}{dx} = -\frac{\sec^2(\sqrt{1-x})}{2\sqrt{1-x}}$$

3. 最終的な答え

$$\frac{dy}{dx} = -\frac{\sec^2(\sqrt{1-x})}{2\sqrt{1-x}}$$

## 問題10の解答

1. 問題の内容

関数 $y = \log(\sqrt{x^2+1} + x)$ の導関数 $dy/dx$ を求めます。ただし、$\log$ は自然対数とします。

2. 解き方の手順

* 合成関数の微分を利用します。

まず、$u = \sqrt{x^2+1} + x$ とおきます。

すると、$y = \log(u)$ となります。

* $\frac{dy}{du}$ と $\frac{du}{dx}$ を求めます。

$$\frac{dy}{du} = \frac{d}{du} \log(u) = \frac{1}{u} = \frac{1}{\sqrt{x^2+1} + x}$$

$$\frac{du}{dx} = \frac{d}{dx} (\sqrt{x^2+1} + x) = \frac{d}{dx} (x^2+1)^{\frac{1}{2}} + \frac{d}{dx} x$$

$$\frac{d}{dx} (x^2+1)^{\frac{1}{2}} = \frac{1}{2}(x^2+1)^{-\frac{1}{2}} \cdot 2x = \frac{x}{\sqrt{x^2+1}}$$

$$\frac{d}{dx} x = 1$$

$$\frac{du}{dx} = \frac{x}{\sqrt{x^2+1}} + 1 = \frac{x + \sqrt{x^2+1}}{\sqrt{x^2+1}}$$

* $\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx}$ を計算します。

$$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{\sqrt{x^2+1} + x} \cdot \frac{x + \sqrt{x^2+1}}{\sqrt{x^2+1}}$$

$$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{\sqrt{x^2+1}}$$

3. 最終的な答え

$$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{\sqrt{x^2+1}}$$