$\frac{\pi}{2} < \theta < \pi$ で $\sin \theta = \frac{1}{3}$ のとき、$\sin 2\theta$, $\cos \frac{\theta}{2}$, $\cos 3\theta$ の値を求めよ。

1. 問題の内容

$\frac{\pi}{2} < \theta < \pi$ で $\sin \theta = \frac{1}{3}$ のとき、$\sin 2\theta$, $\cos \frac{\theta}{2}$, $\cos 3\theta$ の値を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) $\cos \theta$ の値を求める。

$\frac{\pi}{2} < \theta < \pi$ より、$\cos \theta < 0$ である。

$\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1$ より、

$\cos^2 \theta = 1 - \sin^2 \theta = 1 - \left( \frac{1}{3} \right)^2 = 1 - \frac{1}{9} = \frac{8}{9}$

$\cos \theta = - \sqrt{\frac{8}{9}} = - \frac{2 \sqrt{2}}{3}$

(2) $\sin 2\theta$ の値を求める。

$\sin 2\theta = 2 \sin \theta \cos \theta = 2 \cdot \frac{1}{3} \cdot \left( - \frac{2 \sqrt{2}}{3} \right) = - \frac{4 \sqrt{2}}{9}$

(3) $\cos \frac{\theta}{2}$ の値を求める。

$\frac{\pi}{2} < \theta < \pi$ より、$\frac{\pi}{4} < \frac{\theta}{2} < \frac{\pi}{2}$ である。

よって、$\cos \frac{\theta}{2} > 0$ である。

$\cos \theta = 2 \cos^2 \frac{\theta}{2} - 1$ より、

$2 \cos^2 \frac{\theta}{2} = 1 + \cos \theta = 1 - \frac{2 \sqrt{2}}{3} = \frac{3 - 2 \sqrt{2}}{3}$

$\cos^2 \frac{\theta}{2} = \frac{3 - 2 \sqrt{2}}{6}$

$\cos \frac{\theta}{2} = \sqrt{\frac{3 - 2 \sqrt{2}}{6}} = \sqrt{\frac{6 - 4 \sqrt{2}}{12}} = \sqrt{\frac{(\sqrt{2} - 1)^2 \cdot 2}{12}} = \frac{\sqrt{2}(\sqrt{2}-1)}{2\sqrt{3}} = \frac{2-\sqrt{2}}{2\sqrt{3}} = \frac{2 \sqrt{3} - \sqrt{6}}{6}$

または、$\cos^2 \frac{\theta}{2} = \frac{1+\cos \theta}{2} = \frac{1 - \frac{2 \sqrt{2}}{3}}{2} = \frac{3 - 2 \sqrt{2}}{6}$

$\cos \frac{\theta}{2} = \sqrt{\frac{3 - 2 \sqrt{2}}{6}} = \sqrt{\frac{( \sqrt{2} - 1 )^2}{6}} = \frac{\sqrt{2} - 1}{\sqrt{6}} = \frac{\sqrt{12} - \sqrt{6}}{6} = \frac{2 \sqrt{3} - \sqrt{6}}{6}$

(4) $\cos 3\theta$ の値を求める。

$\cos 3\theta = 4 \cos^3 \theta - 3 \cos \theta = 4 \left( - \frac{2 \sqrt{2}}{3} \right)^3 - 3 \left( - \frac{2 \sqrt{2}}{3} \right) = 4 \left( - \frac{16 \sqrt{2}}{27} \right) + 2 \sqrt{2} = - \frac{64 \sqrt{2}}{27} + \frac{54 \sqrt{2}}{27} = - \frac{10 \sqrt{2}}{27}$

3. 最終的な答え

$\sin 2\theta = - \frac{4 \sqrt{2}}{9}$

$\cos \frac{\theta}{2} = \frac{2 \sqrt{3} - \sqrt{6}}{6}$

$\cos 3\theta = - \frac{10 \sqrt{2}}{27}$