与えられた定積分を計算します。 (1) $\int_{2}^{5} 2x \, dx$ (2) $\int_{-2}^{0} x^2 \, dx$

1. 問題の内容

与えられた定積分を計算します。

(1) $\int_{2}^{5} 2x \, dx$

(2) $\int_{-2}^{0} x^2 \, dx$

2. 解き方の手順

(1) $\int_{2}^{5} 2x \, dx$ の計算

まず、被積分関数 $2x$ の不定積分を求めます。

$2x$ の不定積分は $x^2 + C$（$C$は積分定数）です。

定積分は、不定積分の区間の端点での値の差として計算されます。

つまり、

$$\int_{2}^{5} 2x \, dx = [x^2]_{2}^{5} = 5^2 - 2^2 = 25 - 4 = 21$$

(2) $\int_{-2}^{0} x^2 \, dx$ の計算

まず、被積分関数 $x^2$ の不定積分を求めます。

$x^2$ の不定積分は $\frac{1}{3}x^3 + C$（$C$は積分定数）です。

定積分は、不定積分の区間の端点での値の差として計算されます。

つまり、

$$\int_{-2}^{0} x^2 \, dx = \left[\frac{1}{3}x^3\right]_{-2}^{0} = \frac{1}{3}(0^3) - \frac{1}{3}(-2)^3 = 0 - \frac{1}{3}(-8) = \frac{8}{3}$$

3. 最終的な答え

(1) $\int_{2}^{5} 2x \, dx = 21$

(2) $\int_{-2}^{0} x^2 \, dx = \frac{8}{3}$