正十角形の3つの頂点を結んで三角形を作る時、以下の設問に答えよ。 (1) 正十角形と1辺だけを共有する三角形は何個あるか。 (2) 正十角形と辺を共有しない三角形は何個あるか。

1. 問題の内容

正十角形の3つの頂点を結んで三角形を作る時、以下の設問に答えよ。

(1) 正十角形と1辺だけを共有する三角形は何個あるか。

(2) 正十角形と辺を共有しない三角形は何個あるか。

2. 解き方の手順

(1) 正十角形と1辺だけを共有する三角形の個数

正十角形の辺の数を$n$とすると、$n=10$である。

1つの辺を共有する場合、共有する辺の両端の頂点と、それ以外の頂点を選んで三角形を作る。

頂点の選び方は、$n-4$通りである。

ただし、1つの辺に対して、2つの三角形が作れるので、全体の三角形の個数は$n(n-4)$となる。

したがって、正十角形の場合、

$10 \times (10-4) = 10 \times 6 = 60$ 個

(2) 正十角形と辺を共有しない三角形の個数

正十角形から3つの頂点を選んで三角形を作る総数は、$_{10}C_3$である。

$_{10}C_3 = \frac{10 \times 9 \times 8}{3 \times 2 \times 1} = 10 \times 3 \times 4 = 120$個

正十角形と2辺を共有する三角形は、10個である。

正十角形と1辺を共有する三角形は、(1)で求めた通り60個である。

正十角形と辺を共有しない三角形の個数は、三角形の総数から、1辺または2辺を共有する三角形の個数を引いたものである。

$120 - 60 - 10 = 50$個

3. 最終的な答え

(1) 60個

(2) 50個