問題は、$x^3 + 4y^3 + 3xy - 1$ を因数分解することです。

1. 問題の内容

問題は、$x^3 + 4y^3 + 3xy - 1$ を因数分解することです。

2. 解き方の手順

与えられた式を注意深く観察します。

$x^3 - 1$ と $4y^3 + 3xy$を分離し、$x^3 - 1$ が $(x-1)$ を因数に持つことを利用します。

$x^3 - 1$ は因数分解の公式 $a^3 - b^3 = (a-b)(a^2 + ab + b^2)$ で分解できます。

ここでは $a = x$ , $b = 1$ です。

したがって、$x^3 - 1 = (x-1)(x^2 + x + 1)$ となります。

式全体を書き換えると、

$x^3 + 4y^3 + 3xy - 1 = x^3 - 1 + 4y^3 + 3xy$

$= (x-1)(x^2 + x + 1) + 4y^3 + 3xy$

次に、$x^3 + 4y^3 + 3xy - 1 = (x-1+2y)(x^2 + 4y^2 + 1 + 2xy - x - 2y + x + 1) =(x+2y-1)(x^2+4y^2+1-2x+4y-4xy)$と考えることができます。

元の式を $x + 2y - 1$ で割って、確かめてみましょう。

$x^3 + 4y^3 + 3xy - 1 = (x+2y-1)(x^2+Ay^2+B+Cxy+Dx+Ey)$とします。

$xy$の項を比較すると $2Ax y + Cxy + 3xy = 3xy$なので $2A + C = 0$

$4y^3$の項があるので、$2y A y^2 = 4y^3$ です。$A = 2$

よって、$2(2)+ C = 0$ なので、$C = -4$

$x^2$の項を比較すると、$1$。 $y^2$の項を比較すると、$4$.

$定数項を比較すると$−1∗B = -1$なので$B = 1$

よって、$x^3 + 4y^3 + 3xy - 1 = (x+2y-1)(x^2+4y^2+1-4xy)$

正しいことを確認します。

$(x + 2y - 1)(x^2 +4y^2+1 - 2x + 4y - 4xy)=(x+2y-1)(x+2y-1) = x^3 +4y^3+3xy - 1$

$x^3 + 8y^3 - 6xy - 1 = (x+2y-1)(x^2 + 4y^2 + 1-4xy -1)$

3. 最終的な答え

$x^3 + 4y^3 + 3xy - 1$ の因数分解は、(x+2y-1)(x^2+2y^2+1-4xy-2x+4y)です。

しかし、これは、より簡単にまとめられる可能性があります。

しかし、与えられた式は因数分解できないようです。

最終的な答え： 因数分解できません。