与えられた式を因数分解する問題です。 (2) $x^3 + y^3 + 3xy - 1$ (3) $x^4 - 8x^2 + 4$

1. 問題の内容

与えられた式を因数分解する問題です。

(2) $x^3 + y^3 + 3xy - 1$

(3) $x^4 - 8x^2 + 4$

2. 解き方の手順

(2)の式について

$x^3 + y^3 + 3xy - 1$ を因数分解します。

まず、$x^3 + y^3 - 1 + 3xy$ を見ると、$x^3 + y^3 + z^3 - 3xyz = (x+y+z)(x^2 + y^2 + z^2 - xy - yz - zx)$ という公式を思い出します。

そこで、$-1 = (-1)^3$ と見て、$z = -1$ と考えると、$x^3 + y^3 + (-1)^3 - 3x y (-1) = x^3 + y^3 - 1 + 3xy$ となります。

したがって、$x^3 + y^3 - 1 + 3xy = x^3 + y^3 + (-1)^3 - 3xy(-1) = (x+y-1)(x^2 + y^2 + 1 - xy + y + x)$ となります。

(3)の式について

$x^4 - 8x^2 + 4$ を因数分解します。

$x^4 - 8x^2 + 4$ を見ると、$(x^2 + a)^2 = x^4 + 2ax^2 + a^2$ の形に近いことに気づきます。

そこで、$x^4 - 8x^2 + 4 = x^4 + 4x^2 + 4 - 12x^2 = (x^2+2)^2 - (2\sqrt{3}x)^2$ と変形できます。

すると、これは二乗の差の形になるので、$(x^2+2)^2 - (2\sqrt{3}x)^2 = (x^2+2 - 2\sqrt{3}x)(x^2+2 + 2\sqrt{3}x) = (x^2 - 2\sqrt{3}x + 2)(x^2 + 2\sqrt{3}x + 2)$ となります。

または、$x^4 - 8x^2 + 4 = x^4 - 4x^2 + 4 - 4x^2 = (x^2-2)^2 - (2x)^2 = (x^2-2-2x)(x^2-2+2x) = (x^2 - 2x - 2)(x^2 + 2x - 2)$.

3. 最終的な答え

(2) $(x+y-1)(x^2+y^2+1-xy+x+y)$

(3) $(x^2 - 2x - 2)(x^2 + 2x - 2)$