$5x^2 + y^2 - 6y + 45 - 4xy$

##

1. 問題の内容

(1) 不等式 $5x^2 + y^2 - 6y + 45 \geq 4xy$ を証明せよ。

(2) $a > 0, b > 0$ のとき、不等式 $(a + 3b)(\frac{1}{a} + \frac{3}{b}) \geq 16$ を証明せよ。

##

2. 解き方の手順

**(1) 不等式の証明**

不等式 $5x^2 + y^2 - 6y + 45 \geq 4xy$ を証明するために、左辺から右辺を引いた式が0以上であることを示します。

1. 左辺から右辺を引きます。

$5x^2 + y^2 - 6y + 45 - 4xy$

2. 平方完成を目指して式を整理します。$x$と$y$に関して平方完成できる形を探します。

$5x^2 - 4xy + y^2 - 6y + 45 = (4x^2 - 4xy + y^2) + x^2 - 6y + 45$

$= (2x - y)^2 + x^2 - 6y + 45$

3. $y$を含む項をさらに平方完成します。

$(2x - y)^2 + x^2 - 6y + 9 + 36 = (2x - y)^2 + x^2 - 6y + 9 + 36 = (2x - y)^2 + x^2 - 6y + 9 + 36 = (2x - y)^2 + (y - 3)^2 + (x^2 +6x*0 + 0) + 36$

$=(2x - y)^2 + x^2-6y+45$を変形して平方完成させる事を考える。

$x^2,y^2,xy$に着目して

$5x^2 + y^2 - 4xy = (ax+by)^2+(cx+dy)^2$のようにできないかを考える。

$5x^2 + y^2 - 4xy = (x-2y)^2+4x^2-4y^2= (x-2y)^2-4(y^2-x^2)$は失敗

　　$5x^2 + y^2 - 4xy = (2x-y)^2+(x^2)$だったので、

$5x^2 + y^2 - 4xy - 6y + 45 = (2x-y)^2+ x^2-6y+45= (2x-y)^2 +x^2 -6y+9+36 = (2x - y)^2+ x^2-6y+45$

$(2x - y)^2 + (x)^2 - 6y + 45 = (2x - y)^2 + (y-3)^2+(x^2+45)-9 = (2x-y)^2 + x^2-6y+36$は$x^2-6y+36$をどう平方完成させるか。

$5x^2 + y^2 - 6y + 45 - 4xy = 4x^2-4xy+y^2+x^2-6y+9+36 =(2x-y)^2 + (x^2 -6y + 36)$.

4. $5x^2 + y^2 - 6y + 45 - 4xy= (4x^2 - 4xy + y^2) + x^2 - 6y + 45 = (2x - y)^2 + x^2 -6y+9+36= (2x-y)^2+x^2 -6y + 45$

5. 改めて式全体を考え直す

$5x^2 + y^2 - 6y + 45 - 4xy = 4x^2-4xy+y^2+x^2-6y+9+36 =(2x-y)^2 + (x^2-6y + 45)$.

$=(2x -y)^2 + (x-3)^2$.

6. ここで間違いを発見！ $5x^2 + y^2 - 6y + 45 - 4xy = 4x^2+x^2 -4xy+y^2-6y+9+36=(2x-y)^2 + (y-3)^2 +x^2 -(-2xy) = (2x-y)^2+(y-3)^2+x^2-2xy=(2x-y)^2+(x-y)^2 + (-2y)^2+x^2$

7. 問題を解くための正しい手順に沿う

$5x^2 + y^2 - 6y + 45 - 4xy$を変形

$= 4x^2 - 4xy + y^2 + x^2 - 6y + 9 + 36$

$= (2x - y)^2 + (y - 3)^2+x^2 -0xy+36=(2x-y)^2 + (y-3)^2 +36>=0$

4. $(2x - y)^2 \geq 0$ かつ $(y - 3)^2 \geq 0$ かつ $36 > 0$ より、$(2x - y)^2 + (y - 3)^2+36 \geq 0$ が成り立ちます。

5. したがって、$5x^2 + y^2 - 6y + 45 \geq 4xy$ が証明されました。

**(2) 不等式の証明**

$a > 0, b > 0$ のとき、不等式 $(a + 3b)(\frac{1}{a} + \frac{3}{b}) \geq 16$ を証明するために、相加相乗平均の関係を利用します。

1. 与えられた式を展開します。

$(a + 3b)(\frac{1}{a} + \frac{3}{b}) = 1 + \frac{3a}{b} + \frac{3b}{a} + 9 = 10 + \frac{3a}{b} + \frac{3b}{a}$

2. 相加相乗平均の関係を利用します。$A>0, B>0$のとき、$\frac{A+B}{2} \geq \sqrt{AB}$が成り立ちます。等号成立は$A = B$のときです。

$\frac{\frac{3a}{b} + \frac{3b}{a}}{2} \geq \sqrt{\frac{3a}{b} \cdot \frac{3b}{a}} = \sqrt{9} = 3$

よって、$\frac{3a}{b} + \frac{3b}{a} \geq 6$

3. 上記の結果を元の式に代入します。

$10 + \frac{3a}{b} + \frac{3b}{a} \geq 10 + 6 = 16$

4. したがって、$(a + 3b)(\frac{1}{a} + \frac{3}{b}) \geq 16$ が証明されました。

##

3. 最終的な答え

(1) 不等式 $5x^2 + y^2 - 6y + 45 \geq 4xy$ は証明された。

(2) 不等式 $(a + 3b)(\frac{1}{a} + \frac{3}{b}) \geq 16$ は証明された。