問題は、加法定理を用いて三角関数の値を求める問題です。具体的には、以下の値を求める必要があります。 (1) $\sin 105^\circ$ (2) $\sin 165^\circ$ (3) $\cos 75^\circ$ (4) $\cos 15^\circ$

はい、承知いたしました。問題の解き方を説明します。

1. 問題の内容

問題は、加法定理を用いて三角関数の値を求める問題です。具体的には、以下の値を求める必要があります。

(1) $\sin 105^\circ$

(2) $\sin 165^\circ$

(3) $\cos 75^\circ$

(4) $\cos 15^\circ$

2. 解き方の手順

(1) $\sin 105^\circ$

$105^\circ = 60^\circ + 45^\circ$ と考え、$\sin(A+B) = \sin A \cos B + \cos A \sin B$ の加法定理を用います。

$\sin 105^\circ = \sin (60^\circ + 45^\circ) = \sin 60^\circ \cos 45^\circ + \cos 60^\circ \sin 45^\circ$

$\sin 60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}$, $\cos 45^\circ = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$, $\cos 60^\circ = \frac{1}{2}$, $\sin 45^\circ = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$

$\sin 105^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{\sqrt{6}}{4} + \frac{\sqrt{2}}{4} = \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}$

(2) $\sin 165^\circ$

$165^\circ = 120^\circ + 45^\circ$ または $165^\circ = 180^\circ - 15^\circ$ などと考えられます。ここでは、$165^\circ = 120^\circ + 45^\circ$ として計算します。

$\sin 165^\circ = \sin (120^\circ + 45^\circ) = \sin 120^\circ \cos 45^\circ + \cos 120^\circ \sin 45^\circ$

$\sin 120^\circ = \sin (180^\circ - 60^\circ) = \sin 60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}$, $\cos 45^\circ = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$, $\cos 120^\circ = \cos (180^\circ - 60^\circ) = -\cos 60^\circ = -\frac{1}{2}$, $\sin 45^\circ = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$

$\sin 165^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} + (-\frac{1}{2}) \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{\sqrt{6}}{4} - \frac{\sqrt{2}}{4} = \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}$

(3) $\cos 75^\circ$

$75^\circ = 45^\circ + 30^\circ$ と考え、$\cos(A+B) = \cos A \cos B - \sin A \sin B$ の加法定理を用います。

$\cos 75^\circ = \cos (45^\circ + 30^\circ) = \cos 45^\circ \cos 30^\circ - \sin 45^\circ \sin 30^\circ$

$\cos 45^\circ = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$, $\cos 30^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}$, $\sin 45^\circ = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$, $\sin 30^\circ = \frac{1}{2}$

$\cos 75^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{\sqrt{6}}{4} - \frac{\sqrt{2}}{4} = \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}$

(4) $\cos 15^\circ$

$15^\circ = 45^\circ - 30^\circ$ と考え、$\cos(A-B) = \cos A \cos B + \sin A \sin B$ の加法定理を用います。

$\cos 15^\circ = \cos (45^\circ - 30^\circ) = \cos 45^\circ \cos 30^\circ + \sin 45^\circ \sin 30^\circ$

$\cos 45^\circ = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$, $\cos 30^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}$, $\sin 45^\circ = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$, $\sin 30^\circ = \frac{1}{2}$

$\cos 15^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{\sqrt{6}}{4} + \frac{\sqrt{2}}{4} = \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}$

3. 最終的な答え

(1) $\sin 105^\circ = \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}$

(2) $\sin 165^\circ = \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}$

(3) $\cos 75^\circ = \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}$

(4) $\cos 15^\circ = \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}$