与えられた和を計算する問題です。 (1) $S = 1\cdot 1 + 3\cdot 3 + 5\cdot 3^2 + 7\cdot 3^3 + \dots + (2n-1)\cdot 3^{n-1}$ (2) $\sum_{k=1}^{n} \frac{k}{2^k}$ (3) $\sum_{k=1}^{n} a_k b_k$

1. 問題の内容

与えられた和を計算する問題です。

(1) $S = 1\cdot 1 + 3\cdot 3 + 5\cdot 3^2 + 7\cdot 3^3 + \dots + (2n-1)\cdot 3^{n-1}$

(2) $\sum_{k=1}^{n} \frac{k}{2^k}$

(3) $\sum_{k=1}^{n} a_k b_k$

2. 解き方の手順

(1) $S = 1\cdot 1 + 3\cdot 3 + 5\cdot 3^2 + 7\cdot 3^3 + \dots + (2n-1)\cdot 3^{n-1}$ の計算

$S = \sum_{k=1}^{n} (2k-1)3^{k-1}$

$3S = \sum_{k=1}^{n} (2k-1)3^{k}$

$S - 3S = \sum_{k=1}^{n} (2k-1)3^{k-1} - \sum_{k=1}^{n} (2k-1)3^{k}$

$-2S = 1 + \sum_{k=2}^{n} (2k-1)3^{k-1} - \sum_{k=1}^{n-1} (2k-1)3^{k} - (2n-1)3^{n}$

$-2S = 1 + \sum_{k=1}^{n-1} (2(k+1)-1)3^{k} - \sum_{k=1}^{n-1} (2k-1)3^{k} - (2n-1)3^{n}$

$-2S = 1 + \sum_{k=1}^{n-1} (2k+1-2k+1)3^{k} - (2n-1)3^{n}$

$-2S = 1 + \sum_{k=1}^{n-1} 2\cdot 3^{k} - (2n-1)3^{n}$

$-2S = 1 + 2\sum_{k=1}^{n-1} 3^{k} - (2n-1)3^{n}$

$-2S = 1 + 2\frac{3(3^{n-1} - 1)}{3-1} - (2n-1)3^{n}$

$-2S = 1 + 3^{n} - 3 - (2n-1)3^{n}$

$-2S = -2 + 3^{n} - (2n-1)3^{n}$

$-2S = -2 - (2n-2)3^{n}$

$-2S = -2 - 2(n-1)3^{n}$

$S = 1 + (n-1)3^{n}$

(2) $\sum_{k=1}^{n} \frac{k}{2^k}$ の計算

$S = \sum_{k=1}^{n} \frac{k}{2^k}$

$\frac{1}{2}S = \sum_{k=1}^{n} \frac{k}{2^{k+1}}$

$S - \frac{1}{2}S = \sum_{k=1}^{n} \frac{k}{2^k} - \sum_{k=1}^{n} \frac{k}{2^{k+1}}$

$\frac{1}{2}S = \sum_{k=1}^{n} \frac{k}{2^k} - \sum_{k=2}^{n+1} \frac{k-1}{2^{k}}$

$\frac{1}{2}S = \frac{1}{2} + \sum_{k=2}^{n} \frac{k}{2^k} - \sum_{k=2}^{n} \frac{k-1}{2^{k}} - \frac{n}{2^{n+1}}$

$\frac{1}{2}S = \frac{1}{2} + \sum_{k=2}^{n} \frac{1}{2^k} - \frac{n}{2^{n+1}}$

$\frac{1}{2}S = \frac{1}{2} + \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{2^k} - \frac{1}{2} - \frac{n}{2^{n+1}}$

$\frac{1}{2}S = \frac{\frac{1}{2}(1 - (\frac{1}{2})^n)}{1-\frac{1}{2}} - \frac{n}{2^{n+1}}$

$\frac{1}{2}S = 1 - \frac{1}{2^n} - \frac{n}{2^{n+1}}$

$S = 2 - \frac{2}{2^n} - \frac{n}{2^{n}}$

$S = 2 - \frac{n+2}{2^n}$

(3) $\sum_{k=1}^{n} a_k b_k$ の計算

この問題は、$a_k$ と $b_k$ が具体的に与えられていないため、一般的に計算することはできません。$a_k$ と $b_k$ が与えられた場合、それらの式を代入して計算します。

3. 最終的な答え

(1) $S = 1 + (n-1)3^{n}$

(2) $\sum_{k=1}^{n} \frac{k}{2^k} = 2 - \frac{n+2}{2^n}$

(3) $\sum_{k=1}^{n} a_k b_k$ は、$a_k$ と $b_k$ の具体的な式が与えられていないため、計算できません。