与えられた4つの等式が正しいことを示す問題です。 (1) $\sin^{-1}(-x) = -\sin^{-1}x$ ($|x| \le 1$) (2) $\cos^{-1}(-x) = \pi - \cos^{-1}x$ ($|x| \le 1$) (3) $\tan^{-1}\frac{1}{4} + \tan^{-1}\frac{1}{5} = \tan^{-1}\frac{3}{4}$ (4) $\tan^{-1}x + \tan^{-1}\frac{1}{x} = \frac{\pi}{2}$ ($x > 0$)

1. 問題の内容

与えられた4つの等式が正しいことを示す問題です。

(1) $\sin^{-1}(-x) = -\sin^{-1}x$ ($|x| \le 1$)

(2) $\cos^{-1}(-x) = \pi - \cos^{-1}x$ ($|x| \le 1$)

(3) $\tan^{-1}\frac{1}{4} + \tan^{-1}\frac{1}{5} = \tan^{-1}\frac{3}{4}$

(4) $\tan^{-1}x + \tan^{-1}\frac{1}{x} = \frac{\pi}{2}$ ($x > 0$)

2. 解き方の手順

(1) $\sin^{-1}(-x) = -\sin^{-1}x$ ($|x| \le 1$)

$y = \sin^{-1}x$ とおくと、$\sin y = x$ であり $-\frac{\pi}{2} \le y \le \frac{\pi}{2}$ 。

このとき、$\sin(-y) = -x$ となるので、$\sin^{-1}(-x) = -y = -\sin^{-1}x$ 。

(2) $\cos^{-1}(-x) = \pi - \cos^{-1}x$ ($|x| \le 1$)

$y = \cos^{-1}x$ とおくと、$\cos y = x$ であり $0 \le y \le \pi$。

このとき、$\cos(\pi - y) = -x$ となるので、$\cos^{-1}(-x) = \pi - y = \pi - \cos^{-1}x$ 。

(3) $\tan^{-1}\frac{1}{4} + \tan^{-1}\frac{1}{5} = \tan^{-1}\frac{3}{4}$

$\tan^{-1}\frac{1}{4} = a$, $\tan^{-1}\frac{1}{5} = b$ とおくと、$\tan a = \frac{1}{4}$, $\tan b = \frac{1}{5}$。

$\tan(a+b) = \frac{\tan a + \tan b}{1 - \tan a \tan b} = \frac{\frac{1}{4} + \frac{1}{5}}{1 - \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{5}} = \frac{\frac{9}{20}}{1 - \frac{1}{20}} = \frac{\frac{9}{20}}{\frac{19}{20}} = \frac{9}{19}$

よって、$a+b = \tan^{-1} \frac{9}{19}$.

$\tan^{-1}\frac{9}{19} \neq \tan^{-1}\frac{3}{4}$なので問題文が間違っている。

もし、$\tan^{-1}\frac{1}{2} + \tan^{-1}\frac{1}{5} = \tan^{-1}\frac{3}{4}$であれば、

$\tan^{-1}\frac{1}{2} = a$, $\tan^{-1}\frac{1}{5} = b$ とおくと、$\tan a = \frac{1}{2}$, $\tan b = \frac{1}{5}$。

$\tan(a+b) = \frac{\tan a + \tan b}{1 - \tan a \tan b} = \frac{\frac{1}{2} + \frac{1}{5}}{1 - \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{5}} = \frac{\frac{7}{10}}{1 - \frac{1}{10}} = \frac{\frac{7}{10}}{\frac{9}{10}} = \frac{7}{9}$

となる。

(4) $\tan^{-1}x + \tan^{-1}\frac{1}{x} = \frac{\pi}{2}$ ($x > 0$)

$y = \tan^{-1}x$ とおくと、$\tan y = x$ であり $-\frac{\pi}{2} < y < \frac{\pi}{2}$。

$x > 0$ より $0 < y < \frac{\pi}{2}$。

$\tan(\frac{\pi}{2} - y) = \frac{1}{\tan y} = \frac{1}{x}$ となるので、$\tan^{-1}\frac{1}{x} = \frac{\pi}{2} - y = \frac{\pi}{2} - \tan^{-1}x$。

よって、$\tan^{-1}x + \tan^{-1}\frac{1}{x} = \frac{\pi}{2}$。

3. 最終的な答え

(1) $\sin^{-1}(-x) = -\sin^{-1}x$ ($|x| \le 1$)

(2) $\cos^{-1}(-x) = \pi - \cos^{-1}x$ ($|x| \le 1$)

(3) $\tan^{-1}\frac{1}{4} + \tan^{-1}\frac{1}{5} = \tan^{-1}\frac{3}{4}$ は誤り

(4) $\tan^{-1}x + \tan^{-1}\frac{1}{x} = \frac{\pi}{2}$ ($x > 0$)