次の不定積分を計算する問題です。 $\int \frac{x+2}{\sqrt[3]{x+1}+1} dx$

解析学不定積分置換積分積分
2025/7/15
## 問題6

1. 問題の内容

次の不定積分を計算する問題です。
x+2x+13+1dx\int \frac{x+2}{\sqrt[3]{x+1}+1} dx

2. 解き方の手順

まず、x+1=t3x+1 = t^3 と置換します。すると、dx=3t2dtdx = 3t^2 dtx=t31x = t^3 - 1 となります。
積分は次のようになります。
t31+2t+13t2dt=t3+1t+13t2dt\int \frac{t^3 - 1 + 2}{t + 1} 3t^2 dt = \int \frac{t^3 + 1}{t + 1} 3t^2 dt
ここで、t3+1=(t+1)(t2t+1)t^3 + 1 = (t + 1)(t^2 - t + 1) を利用すると、
(t+1)(t2t+1)t+13t2dt=(t2t+1)3t2dt=3(t4t3+t2)dt\int \frac{(t + 1)(t^2 - t + 1)}{t + 1} 3t^2 dt = \int (t^2 - t + 1) 3t^2 dt = 3 \int (t^4 - t^3 + t^2) dt
積分を実行すると、
3(t55t44+t33)+C=35t534t4+t3+C3 (\frac{t^5}{5} - \frac{t^4}{4} + \frac{t^3}{3}) + C = \frac{3}{5} t^5 - \frac{3}{4} t^4 + t^3 + C
t=x+13t = \sqrt[3]{x+1} を代入すると、
35(x+1)5/334(x+1)4/3+(x+1)+C\frac{3}{5} (x+1)^{5/3} - \frac{3}{4} (x+1)^{4/3} + (x+1) + C

3. 最終的な答え

35(x+1)5/334(x+1)4/3+(x+1)+C\frac{3}{5}(x+1)^{5/3} - \frac{3}{4}(x+1)^{4/3} + (x+1) + C
## 問題7 (左)

1. 問題の内容

次の不定積分を計算する問題です。
1x14xxdx\int \frac{1}{x}\sqrt{\frac{1-4x}{x}} dx

2. 解き方の手順

u=14xxu = \sqrt{\frac{1-4x}{x}} と置換します。すると u2=14xxu^2 = \frac{1-4x}{x} より u2x=14xu^2 x = 1 - 4x。したがって、x(u2+4)=1x(u^2 + 4) = 1 なので、x=1u2+4x = \frac{1}{u^2 + 4}
dx=2u(u2+4)2dudx = -\frac{2u}{(u^2+4)^2} du となります。
11u2+4u(2u(u2+4)2)du=(u2+4)u(2u(u2+4)2)du=2u2u2+4du=2u2u2+4du\int \frac{1}{\frac{1}{u^2+4}} u (-\frac{2u}{(u^2+4)^2}) du = \int (u^2+4) u (-\frac{2u}{(u^2+4)^2}) du = \int - \frac{2u^2}{u^2+4} du = -2 \int \frac{u^2}{u^2+4} du
2u2+44u2+4du=2(14u2+4)du=2(u41u2+4du)-2 \int \frac{u^2+4-4}{u^2+4} du = -2 \int (1 - \frac{4}{u^2+4}) du = -2 (u - 4 \int \frac{1}{u^2+4} du)
1u2+4du=12arctanu2+C\int \frac{1}{u^2+4} du = \frac{1}{2} \arctan{\frac{u}{2}} + C' なので
2(u4(12arctanu2))+C=2u+4arctanu2+C-2 (u - 4 (\frac{1}{2} \arctan{\frac{u}{2}})) + C = -2u + 4 \arctan{\frac{u}{2}} + C
u=14xxu = \sqrt{\frac{1-4x}{x}} を代入すると、
214xx+4arctan(1214xx)+C-2\sqrt{\frac{1-4x}{x}} + 4\arctan(\frac{1}{2}\sqrt{\frac{1-4x}{x}}) + C

3. 最終的な答え

214xx+4arctan(1214xx)+C-2\sqrt{\frac{1-4x}{x}} + 4\arctan(\frac{1}{2}\sqrt{\frac{1-4x}{x}}) + C
## 問題7 (右)

1. 問題の内容

次の不定積分を計算する問題です。
x(1+x)x2x+1dx\int \frac{x}{(1+x)\sqrt{x^2-x+1}} dx

2. 解き方の手順

この積分は難しいです。しかし、x2x+1=x+t\sqrt{x^2-x+1} = x + t と置換することで解ける可能性があります。そうすると、x2x+1=(x+t)2=x2+2xt+t2x^2 - x + 1 = (x+t)^2 = x^2 + 2xt + t^2。つまり、x+1=2xt+t2-x+1 = 2xt + t^2 なので、x(2t+1)=1t2x(2t+1) = 1-t^2 より x=1t22t+1x = \frac{1-t^2}{2t+1}
dx=(2t)(2t+1)(1t2)2(2t+1)2dt=4t22t2+2t2(2t+1)2dt=2t22t2(2t+1)2dt=2t2+t+1(2t+1)2dtdx = \frac{(-2t)(2t+1) - (1-t^2)2}{(2t+1)^2} dt = \frac{-4t^2-2t-2+2t^2}{(2t+1)^2} dt = \frac{-2t^2-2t-2}{(2t+1)^2} dt = -2\frac{t^2+t+1}{(2t+1)^2} dt
1t22t+1(1+1t22t+1)(1t22t+1)21t22t+1+1(2t2+t+1(2t+1)2)dt\int \frac{ \frac{1-t^2}{2t+1} }{(1+ \frac{1-t^2}{2t+1}) \sqrt{(\frac{1-t^2}{2t+1})^2 - \frac{1-t^2}{2t+1}+1} } (-2\frac{t^2+t+1}{(2t+1)^2}) dt
これはかなり複雑なので別の方法を試します。

3. 最終的な答え

この積分は今のところ解けません。
## 問題8

1. 問題の内容

次の不定積分を計算する問題です。
1(1+x)2+xx2dx\int \frac{1}{(1+x)\sqrt{2+x-x^2}} dx

2. 解き方の手順

まず、2+xx2=(x2x2)=(x2)(x+1)2+x-x^2 = -(x^2 - x -2) = -(x-2)(x+1)。したがって、1(1+x)(x2)(x+1)dx\int \frac{1}{(1+x)\sqrt{-(x-2)(x+1)}} dx
t=2xx+1t = \sqrt{\frac{2-x}{x+1}} と置換すると、t2=2xx+1t^2 = \frac{2-x}{x+1} より、t2(x+1)=2xt^2(x+1) = 2-x
t2x+t2=2xt^2 x + t^2 = 2 - x, x(t2+1)=2t2x(t^2+1) = 2 - t^2, x=2t2t2+1x = \frac{2-t^2}{t^2+1}dx=(2t)(t2+1)(2t2)(2t)(t2+1)2dt=2t32t4t+2t3(t2+1)2dt=6t(t2+1)2dtdx = \frac{(-2t)(t^2+1) - (2-t^2)(2t)}{(t^2+1)^2} dt = \frac{-2t^3 - 2t -4t +2t^3}{(t^2+1)^2} dt = \frac{-6t}{(t^2+1)^2} dt
1(1+2t2t2+1)2+2t2t2+1(2t2t2+1)2(6t(t2+1)2)dt=1(t2+1+2t2t2+1)2(t2+1)2+(2t2)(t2+1)(2t2)2(t2+1)2(6t(t2+1)2)dt\int \frac{1}{(1 + \frac{2-t^2}{t^2+1}) \sqrt{2 + \frac{2-t^2}{t^2+1} - (\frac{2-t^2}{t^2+1})^2}} (\frac{-6t}{(t^2+1)^2}) dt = \int \frac{1}{(\frac{t^2+1+2-t^2}{t^2+1}) \sqrt{\frac{2(t^2+1)^2 + (2-t^2)(t^2+1) -(2-t^2)^2}{(t^2+1)^2}}} (\frac{-6t}{(t^2+1)^2}) dt
t2+132t4+4t2+2+2t2+2t4t2(44t2+t4)(t2+1)2(6t(t2+1)2)dt\int \frac{t^2+1}{3} \sqrt{\frac{2t^4+4t^2+2 + 2t^2+2-t^4-t^2 - (4-4t^2+t^4)}{(t^2+1)^2}}(\frac{-6t}{(t^2+1)^2}) dt

3. 最終的な答え

この積分は今のところ解けません。

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