与えられた不定積分を計算します。 $\int \frac{x}{(1+x)\sqrt{x^2 - x + 1}} dx$

## 問題 (7)

1. 問題の内容

与えられた不定積分を計算します。

$\int \frac{x}{(1+x)\sqrt{x^2 - x + 1}} dx$

2. 解き方の手順

この積分は標準的な置換積分では難しいため、別の方法を試みます。まず、式を少し操作します。

$I = \int \frac{x}{(1+x)\sqrt{x^2-x+1}}dx$

$x = \frac{1}{t}$と置換すると、$dx = -\frac{1}{t^2} dt$となります。

$I = \int \frac{\frac{1}{t}}{(1+\frac{1}{t})\sqrt{\frac{1}{t^2} - \frac{1}{t} + 1}} (-\frac{1}{t^2}) dt$

$= \int \frac{\frac{1}{t}}{(\frac{t+1}{t})\sqrt{\frac{1-t+t^2}{t^2}}} (-\frac{1}{t^2}) dt$

$= \int \frac{1}{t} \cdot \frac{t}{t+1} \cdot \frac{t}{\sqrt{1-t+t^2}} (-\frac{1}{t^2}) dt$

$= \int \frac{-1}{t(t+1)\sqrt{t^2-t+1}} dt$

$= - \int \frac{1}{t(t+1)\sqrt{t^2-t+1}} dt$

部分分数分解を行います:

$\frac{1}{t(t+1)} = \frac{A}{t} + \frac{B}{t+1}$

$1 = A(t+1) + Bt$

$1 = At + A + Bt$

$1 = (A+B)t + A$

$A = 1$

$A+B = 0 \implies B = -1$

$\frac{1}{t(t+1)} = \frac{1}{t} - \frac{1}{t+1}$

$I = - \int (\frac{1}{t} - \frac{1}{t+1}) \frac{1}{\sqrt{t^2-t+1}} dt$

$= - \int \frac{1}{t\sqrt{t^2-t+1}} dt + \int \frac{1}{(t+1)\sqrt{t^2-t+1}} dt$

それぞれの積分は標準的な積分ではありませんが、元の形に戻せば、答えを得られます。残念ながら、この積分を閉じた形で表現するのは難しいかもしれません。 wolframalphaなどの計算ツールを使用すると、積分結果は複雑な関数で表されます。この問題に対するより良い解法は、現時点では見つけられていません。

3. 最終的な答え

不定積分は複雑な関数で表されるため、ここでは明示的な答えを記述できません。

## 問題 (8)

1. 問題の内容

与えられた不定積分を計算します。

$\int \frac{1}{(1+x)\sqrt{2+x-x^2}} dx$

2. 解き方の手順

$u = x+1$とおくと、$du = dx$となり、$x = u-1$。積分は次のようになります。

$I = \int \frac{1}{u \sqrt{2 + (u-1) - (u-1)^2}} du$

$= \int \frac{1}{u \sqrt{2 + u - 1 - (u^2 - 2u + 1)}} du$

$= \int \frac{1}{u \sqrt{2 + u - 1 - u^2 + 2u - 1}} du$

$= \int \frac{1}{u \sqrt{-u^2 + 3u}} du$

$= \int \frac{1}{u \sqrt{u(3-u)}} du$

$= \int \frac{1}{u \sqrt{u} \sqrt{3-u}} du$

$= \int \frac{1}{u^{3/2} \sqrt{3-u}} du$

$v = \sqrt{\frac{3-u}{u}}$ と置換すると、$v^2 = \frac{3-u}{u} \implies u v^2 = 3 - u \implies u(v^2+1) = 3 \implies u = \frac{3}{v^2+1}$

$du = -\frac{6v}{(v^2+1)^2} dv$

$I = \int \frac{1}{(\frac{3}{v^2+1})^{3/2} \sqrt{3 - \frac{3}{v^2+1}}} (-\frac{6v}{(v^2+1)^2}) dv$

$= \int \frac{1}{(\frac{3}{v^2+1})^{3/2} \sqrt{\frac{3v^2}{v^2+1}}} (-\frac{6v}{(v^2+1)^2}) dv$

$= \int \frac{(v^2+1)^{3/2}}{3^{3/2}} \cdot \frac{\sqrt{v^2+1}}{v \sqrt{3}} (-\frac{6v}{(v^2+1)^2}) dv$

$= \int \frac{(v^2+1)^2}{3^2} (-\frac{6}{v^2+1}) dv$

$= -\frac{6}{9} \int (v^2+1) dv = -\frac{2}{3} \int (v^2+1) dv$

$= -\frac{2}{3} (\frac{v^3}{3} + v) + C$

$= -\frac{2}{9} v^3 - \frac{2}{3} v + C$

$= -\frac{2}{9} (\sqrt{\frac{3-u}{u}})^3 - \frac{2}{3} \sqrt{\frac{3-u}{u}} + C$

$= -\frac{2}{9} (\sqrt{\frac{3-x-1}{x+1}})^3 - \frac{2}{3} \sqrt{\frac{3-x-1}{x+1}} + C$

$= -\frac{2}{9} (\sqrt{\frac{2-x}{x+1}})^3 - \frac{2}{3} \sqrt{\frac{2-x}{x+1}} + C$

3. 最終的な答え

$\int \frac{1}{(1+x)\sqrt{2+x-x^2}} dx = -\frac{2}{9} (\sqrt{\frac{2-x}{x+1}})^3 - \frac{2}{3} \sqrt{\frac{2-x}{x+1}} + C$