## 1. 問題の内容

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1. 問題の内容

次の不定積分を求めます。

(1) $\int \frac{x+1}{x^2+x-6} dx$

(2) $\int \sin 2x \cos 3x dx$

(3) $\int \frac{x}{\sqrt{x+2}-\sqrt{2}} dx$

(4) $\int \frac{x}{\sqrt{x-1}} dx$

(5) $\int \frac{\sin x}{\cos^2 x} dx$

(6) $\int 2x^2e^x dx$

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2. 解き方の手順

(1) $\int \frac{x+1}{x^2+x-6} dx$

分母を因数分解すると $x^2+x-6 = (x+3)(x-2)$ となる。

$\frac{x+1}{(x+3)(x-2)}$ を部分分数分解すると、

$\frac{x+1}{(x+3)(x-2)} = \frac{A}{x+3} + \frac{B}{x-2}$

$x+1 = A(x-2) + B(x+3)$

$x+1 = (A+B)x + (-2A+3B)$

$A+B=1$ かつ $-2A+3B=1$ を解くと、 $A = \frac{2}{5}$, $B = \frac{3}{5}$。

よって、

$\int \frac{x+1}{x^2+x-6} dx = \int \left( \frac{2/5}{x+3} + \frac{3/5}{x-2} \right) dx = \frac{2}{5} \int \frac{1}{x+3} dx + \frac{3}{5} \int \frac{1}{x-2} dx = \frac{2}{5} \ln |x+3| + \frac{3}{5} \ln |x-2| + C$

(2) $\int \sin 2x \cos 3x dx$

三角関数の積和の公式を用いる。

$\sin A \cos B = \frac{1}{2} [\sin(A+B) + \sin(A-B)]$

$\sin 2x \cos 3x = \frac{1}{2} [\sin(2x+3x) + \sin(2x-3x)] = \frac{1}{2} [\sin 5x + \sin (-x)] = \frac{1}{2} (\sin 5x - \sin x)$

$\int \sin 2x \cos 3x dx = \frac{1}{2} \int (\sin 5x - \sin x) dx = \frac{1}{2} \left( -\frac{1}{5} \cos 5x + \cos x \right) + C = -\frac{1}{10} \cos 5x + \frac{1}{2} \cos x + C$

(3) $\int \frac{x}{\sqrt{x+2}-\sqrt{2}} dx$

分母を有理化する。

$\frac{x}{\sqrt{x+2}-\sqrt{2}} = \frac{x(\sqrt{x+2}+\sqrt{2})}{(\sqrt{x+2}-\sqrt{2})(\sqrt{x+2}+\sqrt{2})} = \frac{x(\sqrt{x+2}+\sqrt{2})}{x+2-2} = \sqrt{x+2}+\sqrt{2}$

$\int \frac{x}{\sqrt{x+2}-\sqrt{2}} dx = \int (\sqrt{x+2}+\sqrt{2}) dx = \int (x+2)^{\frac{1}{2}} dx + \int \sqrt{2} dx = \frac{2}{3}(x+2)^{\frac{3}{2}} + \sqrt{2} x + C$

(4) $\int \frac{x}{\sqrt{x-1}} dx$

$u = x-1$ と置換する。$x = u+1$ となり、$dx = du$。

$\int \frac{x}{\sqrt{x-1}} dx = \int \frac{u+1}{\sqrt{u}} du = \int (\sqrt{u} + \frac{1}{\sqrt{u}}) du = \int (u^{\frac{1}{2}} + u^{-\frac{1}{2}}) du = \frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + 2u^{\frac{1}{2}} + C = \frac{2}{3} (x-1)^{\frac{3}{2}} + 2(x-1)^{\frac{1}{2}} + C$

(5) $\int \frac{\sin x}{\cos^2 x} dx$

$u = \cos x$ と置換する。$du = -\sin x dx$。

$\int \frac{\sin x}{\cos^2 x} dx = \int \frac{-1}{u^2} du = \int -u^{-2} du = - \frac{u^{-1}}{-1} + C = \frac{1}{u} + C = \frac{1}{\cos x} + C = \sec x + C$

(6) $\int 2x^2e^x dx$

部分積分を2回行う。

$u = 2x^2, dv = e^x dx$ とすると、$du = 4x dx, v = e^x$。

$\int 2x^2 e^x dx = 2x^2 e^x - \int 4x e^x dx$

さらに、 $u = 4x, dv = e^x dx$ とすると、$du = 4 dx, v = e^x$。

$\int 4x e^x dx = 4x e^x - \int 4 e^x dx = 4x e^x - 4e^x + C$

よって、

$\int 2x^2 e^x dx = 2x^2 e^x - (4x e^x - 4e^x) + C = 2x^2 e^x - 4x e^x + 4e^x + C = 2e^x (x^2 - 2x + 2) + C$

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3. 最終的な答え

(1) $\frac{2}{5} \ln |x+3| + \frac{3}{5} \ln |x-2| + C$

(2) $-\frac{1}{10} \cos 5x + \frac{1}{2} \cos x + C$

(3) $\frac{2}{3}(x+2)^{\frac{3}{2}} + \sqrt{2} x + C$

(4) $\frac{2}{3} (x-1)^{\frac{3}{2}} + 2(x-1)^{\frac{1}{2}} + C$

(5) $\sec x + C$

(6) $2e^x (x^2 - 2x + 2) + C$