与えられた重積分 $I = \int_{1}^{2} \left[ \int_{1}^{x} f(x, y) dy \right] dx$ に対して、積分順序を入れ替えて、$y$を先に積分する場合の、$x$と$y$の積分範囲を求める問題です。ここで、$x$の範囲は $a \le x \le b$、$y$の範囲は $c \le y \le d$ となります。$a, b, c, d$ に入る文字もしくは数値を答えます。

1. 問題の内容

与えられた重積分 $I = \int_{1}^{2} \left[ \int_{1}^{x} f(x, y) dy \right] dx$ に対して、積分順序を入れ替えて、$y$を先に積分する場合の、$x$と$y$の積分範囲を求める問題です。ここで、$x$の範囲は $a \le x \le b$、$y$の範囲は $c \le y \le d$ となります。$a, b, c, d$ に入る文字もしくは数値を答えます。

2. 解き方の手順

元の積分の積分範囲は、

$1 \le x \le 2$

$1 \le y \le x$

です。

これをxy平面に図示すると、$x=1$, $x=2$, $y=1$, $y=x$ で囲まれた領域となります。

$y$を先に積分すると、積分範囲は$1 \le y \le 2$となります。

$x$の積分範囲は、$y \le x \le 2$となります。

したがって、重積分は

$I = \int_{1}^{2} \left[ \int_{y}^{2} f(x, y) dx \right] dy$

となります。

したがって、$x$の範囲は$a \le x \le b$より、$y \le x \le 2$となります。

$y$の範囲は$c \le y \le d$より、$1 \le y \le 2$となります。

したがって、$a = y$, $b = 2$, $c = 1$, $d = 2$となります。

3. 最終的な答え

$x$の範囲: $y \le x \le 2$

$y$の範囲: $1 \le y \le 2$