与えられた条件を満たす関数 $f(x)$ のグラフの $x=a$ 付近の概形を作図する問題です。 (1) $f'(a) = 0$ かつ $f''(a) < 0$ の場合 (2) $f'(a) > 0$ であり、$f''(x)$ は $x=a$ で正から負に変化する場合

1. 問題の内容

与えられた条件を満たす関数 $f(x)$ のグラフの $x=a$ 付近の概形を作図する問題です。

(1) $f'(a) = 0$ かつ $f''(a) < 0$ の場合

(2) $f'(a) > 0$ であり、$f''(x)$ は $x=a$ で正から負に変化する場合

2. 解き方の手順

(1) $f'(a) = 0$ かつ $f''(a) < 0$ の場合

$f'(a) = 0$ は、$x=a$ においてグラフの接線の傾きが0であることを意味します。つまり、$x=a$ は極値を取る可能性のある点です。

$f''(a) < 0$ は、$x=a$ においてグラフが上に凸であることを意味します。

したがって、$x=a$ で極大値をとり、上に凸なグラフになります。

(2) $f'(a) > 0$ であり、$f''(x)$ は $x=a$ で正から負に変化する場合

$f'(a) > 0$ は、$x=a$ においてグラフの接線の傾きが正であることを意味します。つまり、$x=a$ で関数は増加しています。

$f''(x)$ が $x=a$ で正から負に変化するということは、$x=a$ において変曲点を持ちます。

$f''(x)$ が正である区間では下に凸、$f''(x)$ が負である区間では上に凸になります。

したがって、$x=a$ 付近では、下に凸な状態から上に凸な状態へと変化し、接線の傾きは正のまま変曲点を通過するグラフになります。

3. 最終的な答え

(1) $f'(a) = 0$ かつ $f''(a) < 0$ の場合：

$x=a$ で極大となる上に凸なグラフ。

(2) $f'(a) > 0$ であり、$f''(x)$ は $x=a$ で正から負に変化する場合：

$x=a$ が変曲点となるグラフ。$x=a$ の左側では下に凸、右側では上に凸であり、$x=a$ における接線の傾きは正。