定積分 $\int_0^1 xe^x dx$ を計算します。

1. 問題の内容

定積分 $\int_0^1 xe^x dx$ を計算します。

2. 解き方の手順

部分積分を用いて計算します。

$u = x$, $dv = e^x dx$ とすると、$du = dx$, $v = e^x$ となります。

部分積分の公式 $\int u dv = uv - \int v du$ を用いると、

$$\int_0^1 xe^x dx = [xe^x]_0^1 - \int_0^1 e^x dx$$

$$= [xe^x]_0^1 - [e^x]_0^1$$

$$= (1 \cdot e^1 - 0 \cdot e^0) - (e^1 - e^0)$$

$$= e - (e - 1)$$

$$= e - e + 1$$

$$= 1$$

3. 最終的な答え

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