$x$ が $0$ に近づくときの $x^2 \sin \frac{1}{x}$ の極限値を求めます。

了解しました。画像にある問題のうち、2.4.3の(1)～(3)の極限値を求める問題と、2.4.4の(1)～(3)の関数の連続性を調べる問題、そして2.4.5の(1)と(2)の方程式が与えられた区間に解を持つことを示す問題を解きます。

**2.4.3 極限値を計算する**

**(1) $\lim_{x \to 0} x^2 \sin \frac{1}{x}$**

1. 問題の内容

$x$ が $0$ に近づくときの $x^2 \sin \frac{1}{x}$ の極限値を求めます。

2. 解き方の手順

$-1 \leq \sin \frac{1}{x} \leq 1$ であることから、$-x^2 \leq x^2 \sin \frac{1}{x} \leq x^2$ が成り立ちます。

$\lim_{x \to 0} -x^2 = 0$ かつ $\lim_{x \to 0} x^2 = 0$ であるから、はさみうちの原理より、$\lim_{x \to 0} x^2 \sin \frac{1}{x} = 0$ となります。

3. 最終的な答え

0

**(2) $\lim_{x \to \infty} \frac{\sin x}{x^2}$**

1. 問題の内容

$x$ が無限大に近づくときの $\frac{\sin x}{x^2}$ の極限値を求めます。

2. 解き方の手順

$-1 \leq \sin x \leq 1$ であることから、$-\frac{1}{x^2} \leq \frac{\sin x}{x^2} \leq \frac{1}{x^2}$ が成り立ちます。

$\lim_{x \to \infty} -\frac{1}{x^2} = 0$ かつ $\lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^2} = 0$ であるから、はさみうちの原理より、$\lim_{x \to \infty} \frac{\sin x}{x^2} = 0$ となります。

3. 最終的な答え

0

**(3) $\lim_{x \to \infty} \frac{\cos x}{x^2 + 1}$**

1. 問題の内容

$x$ が無限大に近づくときの $\frac{\cos x}{x^2 + 1}$ の極限値を求めます。

2. 解き方の手順

$-1 \leq \cos x \leq 1$ であることから、$-\frac{1}{x^2 + 1} \leq \frac{\cos x}{x^2 + 1} \leq \frac{1}{x^2 + 1}$ が成り立ちます。

$\lim_{x \to \infty} -\frac{1}{x^2 + 1} = 0$ かつ $\lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^2 + 1} = 0$ であるから、はさみうちの原理より、$\lim_{x \to \infty} \frac{\cos x}{x^2 + 1} = 0$ となります。

3. 最終的な答え

0

**2.4.4 関数が連続であるか調べる**

**(1) $f(x) = \begin{cases} \frac{x}{|x|} & (x \neq 0) \\ 1 & (x = 0) \end{cases}$**

1. 問題の内容

与えられた関数 $f(x)$ が $x=0$ で連続かどうかを調べます。

2. 解き方の手順

$x > 0$ のとき $\frac{x}{|x|} = \frac{x}{x} = 1$, $x < 0$ のとき $\frac{x}{|x|} = \frac{x}{-x} = -1$ です。したがって、

$\lim_{x \to +0} f(x) = 1$ および $\lim_{x \to -0} f(x) = -1$ となります。

$\lim_{x \to +0} f(x) \neq \lim_{x \to -0} f(x)$ なので、$\lim_{x \to 0} f(x)$ は存在しません。

また、$f(0) = 1$ であるので、$\lim_{x \to 0} f(x) \neq f(0)$ となり、関数は $x=0$ で不連続です。

3. 最終的な答え

不連続

**(2) $f(x) = \begin{cases} \frac{x^3 + x^2}{|x|} & (x \neq 0) \\ 0 & (x = 0) \end{cases}$**

1. 問題の内容

与えられた関数 $f(x)$ が $x=0$ で連続かどうかを調べます。

2. 解き方の手順

$x > 0$ のとき $\frac{x^3 + x^2}{|x|} = \frac{x^3 + x^2}{x} = x^2 + x$, $x < 0$ のとき $\frac{x^3 + x^2}{|x|} = \frac{x^3 + x^2}{-x} = -x^2 - x$ です。したがって、

$\lim_{x \to +0} f(x) = \lim_{x \to +0} (x^2 + x) = 0$ および $\lim_{x \to -0} f(x) = \lim_{x \to -0} (-x^2 - x) = 0$ となります。

$\lim_{x \to +0} f(x) = \lim_{x \to -0} f(x) = 0$ なので、$\lim_{x \to 0} f(x) = 0$ です。

また、$f(0) = 0$ であるので、$\lim_{x \to 0} f(x) = f(0)$ となり、関数は $x=0$ で連続です。

3. 最終的な答え

連続

**(3) $f(x) = \begin{cases} x \cos \frac{1}{x^2} & (x \neq 0) \\ 1 & (x = 0) \end{cases}$**

1. 問題の内容

与えられた関数 $f(x)$ が $x=0$ で連続かどうかを調べます。

2. 解き方の手順

$-1 \leq \cos \frac{1}{x^2} \leq 1$ であるから、$-|x| \leq x \cos \frac{1}{x^2} \leq |x|$ が成り立ちます。

$\lim_{x \to 0} -|x| = 0$ かつ $\lim_{x \to 0} |x| = 0$ であるから、はさみうちの原理より、$\lim_{x \to 0} x \cos \frac{1}{x^2} = 0$ となります。

$\lim_{x \to 0} f(x) = 0$ であり、$f(0) = 1$ であるので、$\lim_{x \to 0} f(x) \neq f(0)$ となり、関数は $x=0$ で不連続です。

3. 最終的な答え

不連続

**2.4.5 与えられた区間に解を持つことを示す**

**(1) $2^x - 4x - 3 = 0, \quad I = [4, 5]$**

1. 問題の内容

関数 $f(x) = 2^x - 4x - 3$ が区間 $[4, 5]$ に少なくとも1つの解を持つことを示します。

2. 解き方の手順

中間値の定理を使用します。

$f(4) = 2^4 - 4(4) - 3 = 16 - 16 - 3 = -3$

$f(5) = 2^5 - 4(5) - 3 = 32 - 20 - 3 = 9$

$f(4) < 0$ かつ $f(5) > 0$ であり、$f(x)$ は連続関数なので、中間値の定理より、区間 $(4, 5)$ に $f(x) = 0$ となる $x$ が少なくとも1つ存在します。したがって、与えられた区間 $[4, 5]$ に解を持ちます。

3. 最終的な答え

与えられた区間 $[4, 5]$ に解を持つ。

**(2) $\cos x = x \sin x, \quad I = [\pi, \frac{3\pi}{2}]$**

1. 問題の内容

関数 $\cos x - x \sin x = 0$ が区間 $[\pi, \frac{3\pi}{2}]$ に少なくとも1つの解を持つことを示します。

2. 解き方の手順

$f(x) = \cos x - x \sin x$ とします。

$f(\pi) = \cos \pi - \pi \sin \pi = -1 - \pi(0) = -1$

$f(\frac{3\pi}{2}) = \cos \frac{3\pi}{2} - \frac{3\pi}{2} \sin \frac{3\pi}{2} = 0 - \frac{3\pi}{2}(-1) = \frac{3\pi}{2}$

$f(\pi) < 0$ かつ $f(\frac{3\pi}{2}) > 0$ であり、$f(x)$ は連続関数なので、中間値の定理より、区間 $(\pi, \frac{3\pi}{2})$ に $f(x) = 0$ となる $x$ が少なくとも1つ存在します。したがって、与えられた区間 $[\pi, \frac{3\pi}{2}]$ に解を持ちます。

3. 最終的な答え

与えられた区間 $[\pi, \frac{3\pi}{2}]$ に解を持つ。