$\int \frac{dx}{x^2}$ を計算しなさい。ただし、$C$を積分定数とする。

1. 問題の内容

$\int \frac{dx}{x^2}$ を計算しなさい。ただし、$C$を積分定数とする。

2. 解き方の手順

まず、積分記号の中身を $x$ の指数を使って表します。

$\frac{1}{x^2} = x^{-2}$

したがって、積分は以下のようになります。

$\int x^{-2} dx$

次に、べき関数の積分公式 $\int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C$ (ただし、$n \neq -1$) を使います。

この場合、$n = -2$ ですので、$n+1 = -2+1 = -1$ となります。

したがって、

$\int x^{-2} dx = \frac{x^{-1}}{-1} + C$

$= -x^{-1} + C$

最後に、$x^{-1}$ を $\frac{1}{x}$ で表します。

$-x^{-1} + C = -\frac{1}{x} + C$

3. 最終的な答え

$-\frac{1}{x} + C$