$\int \sin{2x} \sin{4x} dx$ を計算する問題です。

1. 問題の内容

$\int \sin{2x} \sin{4x} dx$ を計算する問題です。

2. 解き方の手順

三角関数の積を和に変換する公式を用います。具体的には、

$\cos{(A - B)} - \cos{(A + B)} = 2\sin{A}\sin{B}$

という公式を用います。

この公式を変形すると、

$\sin{A}\sin{B} = \frac{1}{2}[\cos{(A - B)} - \cos{(A + B)}]$

となります。

今回の問題では、$A = 2x$、$B = 4x$ とすると、

$\sin{2x}\sin{4x} = \frac{1}{2}[\cos{(2x - 4x)} - \cos{(2x + 4x)}] = \frac{1}{2}[\cos{(-2x)} - \cos{(6x)}]$

となります。

$\cos{(-2x)} = \cos{(2x)}$ なので、

$\sin{2x}\sin{4x} = \frac{1}{2}[\cos{(2x)} - \cos{(6x)}]$

となります。

したがって、積分は、

$\int \sin{2x}\sin{4x} dx = \int \frac{1}{2}[\cos{(2x)} - \cos{(6x)}] dx = \frac{1}{2} \int [\cos{(2x)} - \cos{(6x)}] dx$

となります。

$\int \cos{(2x)} dx = \frac{1}{2}\sin{(2x)} + C_1$

$\int \cos{(6x)} dx = \frac{1}{6}\sin{(6x)} + C_2$

なので、

$\frac{1}{2} \int [\cos{(2x)} - \cos{(6x)}] dx = \frac{1}{2} [\frac{1}{2}\sin{(2x)} - \frac{1}{6}\sin{(6x)}] + C = \frac{1}{4}\sin{(2x)} - \frac{1}{12}\sin{(6x)} + C$

となります。

3. 最終的な答え

$\frac{1}{4}\sin{2x} - \frac{1}{12}\sin{6x} + C$