関数 $f(x)$ が微分可能であるとき、以下の関数を微分する問題です。 a) $f(2x+1)$ b) $\{f(x)\}^3$ c) $\left\{f(x) - \frac{1}{f(x)}\right\}^2$

1. 問題の内容

関数 $f(x)$ が微分可能であるとき、以下の関数を微分する問題です。

a) $f(2x+1)$

b) $\{f(x)\}^3$

c) $\left\{f(x) - \frac{1}{f(x)}\right\}^2$

2. 解き方の手順

a) $f(2x+1)$ の微分

合成関数の微分公式を使います。$g(x) = 2x + 1$ とすると、$f(2x+1) = f(g(x))$ です。

$\frac{d}{dx} f(g(x)) = f'(g(x)) \cdot g'(x)$

$g(x) = 2x + 1$ より、$g'(x) = 2$

したがって、

$\frac{d}{dx} f(2x+1) = f'(2x+1) \cdot 2 = 2f'(2x+1)$

b) $\{f(x)\}^3$ の微分

これも合成関数の微分公式を使います。$g(x) = f(x)$ とすると、$\{f(x)\}^3 = \{g(x)\}^3$ です。

$\frac{d}{dx} \{g(x)\}^3 = 3\{g(x)\}^2 \cdot g'(x)$

したがって、

$\frac{d}{dx} \{f(x)\}^3 = 3\{f(x)\}^2 \cdot f'(x) = 3f(x)^2 f'(x)$

c) $\left\{f(x) - \frac{1}{f(x)}\right\}^2$ の微分

これも合成関数の微分公式を使います。$g(x) = f(x) - \frac{1}{f(x)}$ とすると、$\left\{f(x) - \frac{1}{f(x)}\right\}^2 = \{g(x)\}^2$ です。

$\frac{d}{dx} \{g(x)\}^2 = 2g(x) \cdot g'(x)$

まず、$g'(x)$ を計算します。

$g(x) = f(x) - \frac{1}{f(x)} = f(x) - f(x)^{-1}$

$g'(x) = f'(x) - (-1)f(x)^{-2}f'(x) = f'(x) + \frac{f'(x)}{f(x)^2} = f'(x)\left(1 + \frac{1}{f(x)^2}\right)$

したがって、

$\frac{d}{dx} \left\{f(x) - \frac{1}{f(x)}\right\}^2 = 2\left\{f(x) - \frac{1}{f(x)}\right\} \cdot f'(x)\left(1 + \frac{1}{f(x)^2}\right) = 2\left(f(x) - \frac{1}{f(x)}\right)\left(1 + \frac{1}{f(x)^2}\right)f'(x)$

3. 最終的な答え

a) $2f'(2x+1)$

b) $3f(x)^2 f'(x)$

c) $2\left(f(x) - \frac{1}{f(x)}\right)\left(1 + \frac{1}{f(x)^2}\right)f'(x)$