与えられた三角関数の値から、指定された角の2倍の三角関数の値を求める問題です。具体的には、以下の5つの問題を解きます。 (1) $\sin \alpha = \frac{1}{3}$ のとき $\cos 2\alpha$ (2) $\frac{\pi}{2} < \alpha < \pi$, $\sin \alpha = \frac{3}{5}$ のとき $\sin 2\alpha$ (3) $\tan \alpha = 3$ のとき $\tan 2\alpha$ (4) $\cos 3\alpha = \frac{7}{8}$ のとき $\cos 6\alpha$ (5) $\tan \alpha = -\sqrt{5}$ のとき $\sin 2\alpha$

はい、承知いたしました。加法定理に関する問題ですね。以下の形式で解答します。

1. 問題の内容

与えられた三角関数の値から、指定された角の2倍の三角関数の値を求める問題です。具体的には、以下の5つの問題を解きます。

(1) $\sin \alpha = \frac{1}{3}$ のとき $\cos 2\alpha$

(2) $\frac{\pi}{2} < \alpha < \pi$, $\sin \alpha = \frac{3}{5}$ のとき $\sin 2\alpha$

(3) $\tan \alpha = 3$ のとき $\tan 2\alpha$

(4) $\cos 3\alpha = \frac{7}{8}$ のとき $\cos 6\alpha$

(5) $\tan \alpha = -\sqrt{5}$ のとき $\sin 2\alpha$

2. 解き方の手順

(1) $\sin \alpha = \frac{1}{3}$ のとき $\cos 2\alpha$

倍角の公式 $\cos 2\alpha = 1 - 2\sin^2 \alpha$ を使います。

$\cos 2\alpha = 1 - 2 \left(\frac{1}{3}\right)^2$

$\cos 2\alpha = 1 - 2 \cdot \frac{1}{9}$

$\cos 2\alpha = 1 - \frac{2}{9}$

$\cos 2\alpha = \frac{7}{9}$

(2) $\frac{\pi}{2} < \alpha < \pi$, $\sin \alpha = \frac{3}{5}$ のとき $\sin 2\alpha$

倍角の公式 $\sin 2\alpha = 2 \sin \alpha \cos \alpha$ を使います。

$\cos \alpha$ の値を求める必要があります。$\alpha$ が第2象限の角なので、$\cos \alpha < 0$ です。

$\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1$ より、

$\cos^2 \alpha = 1 - \sin^2 \alpha = 1 - \left(\frac{3}{5}\right)^2 = 1 - \frac{9}{25} = \frac{16}{25}$

$\cos \alpha = -\sqrt{\frac{16}{25}} = -\frac{4}{5}$

$\sin 2\alpha = 2 \sin \alpha \cos \alpha = 2 \cdot \frac{3}{5} \cdot \left(-\frac{4}{5}\right) = -\frac{24}{25}$

(3) $\tan \alpha = 3$ のとき $\tan 2\alpha$

倍角の公式 $\tan 2\alpha = \frac{2 \tan \alpha}{1 - \tan^2 \alpha}$ を使います。

$\tan 2\alpha = \frac{2 \cdot 3}{1 - 3^2} = \frac{6}{1 - 9} = \frac{6}{-8} = -\frac{3}{4}$

(4) $\cos 3\alpha = \frac{7}{8}$ のとき $\cos 6\alpha$

倍角の公式 $\cos 2\theta = 2\cos^2 \theta - 1$ を使います。ここで $\theta = 3\alpha$ とします。

$\cos 6\alpha = 2 \cos^2 (3\alpha) - 1 = 2 \left(\frac{7}{8}\right)^2 - 1 = 2 \cdot \frac{49}{64} - 1 = \frac{49}{32} - 1 = \frac{49 - 32}{32} = \frac{17}{32}$

(5) $\tan \alpha = -\sqrt{5}$ のとき $\sin 2\alpha$

$\sin 2\alpha = \frac{2 \tan \alpha}{1 + \tan^2 \alpha}$ を使います。

$\sin 2\alpha = \frac{2 \cdot (-\sqrt{5})}{1 + (-\sqrt{5})^2} = \frac{-2\sqrt{5}}{1 + 5} = \frac{-2\sqrt{5}}{6} = -\frac{\sqrt{5}}{3}$

3. 最終的な答え

(1) $\cos 2\alpha = \frac{7}{9}$

(2) $\sin 2\alpha = -\frac{24}{25}$

(3) $\tan 2\alpha = -\frac{3}{4}$

(4) $\cos 6\alpha = \frac{17}{32}$

(5) $\sin 2\alpha = -\frac{\sqrt{5}}{3}$