次の2つの定積分を計算します。 (1) $\int_{1}^{2} (3x^2 - 4x) dx$ (2) $\int_{0}^{3} (x^2 - x - 2) dx$

1. 問題の内容

次の2つの定積分を計算します。

(1) $\int_{1}^{2} (3x^2 - 4x) dx$

(2) $\int_{0}^{3} (x^2 - x - 2) dx$

2. 解き方の手順

(1) $\int_{1}^{2} (3x^2 - 4x) dx$

まず、不定積分を計算します。

$\int (3x^2 - 4x) dx = x^3 - 2x^2 + C$

次に、定積分を計算します。

$\int_{1}^{2} (3x^2 - 4x) dx = [x^3 - 2x^2]_{1}^{2}$

$= (2^3 - 2(2^2)) - (1^3 - 2(1^2))$

$= (8 - 8) - (1 - 2)$

$= 0 - (-1)$

$= 1$

(2) $\int_{0}^{3} (x^2 - x - 2) dx$

まず、不定積分を計算します。

$\int (x^2 - x - 2) dx = \frac{1}{3}x^3 - \frac{1}{2}x^2 - 2x + C$

次に、定積分を計算します。

$\int_{0}^{3} (x^2 - x - 2) dx = [\frac{1}{3}x^3 - \frac{1}{2}x^2 - 2x]_{0}^{3}$

$= (\frac{1}{3}(3^3) - \frac{1}{2}(3^2) - 2(3)) - (\frac{1}{3}(0^3) - \frac{1}{2}(0^2) - 2(0))$

$= (9 - \frac{9}{2} - 6) - (0)$

$= 3 - \frac{9}{2}$

$= \frac{6}{2} - \frac{9}{2}$

$= -\frac{3}{2}$

3. 最終的な答え

(1) 1

(2) $-\frac{3}{2}$