問題は、与えられた関数の指定された点における接平面の方程式を求めるものです。 (3) $z = xy$ の点 $(1, 0, 0)$ における接平面 (4) $z = \sqrt{x^2 + y^2}$ の点 $(1, 1, \sqrt{2})$ における接平面 (5) $z = 4\arctan(\frac{y}{x})$ の点 $(1, -1, -\pi)$ における接平面

1. 問題の内容

問題は、与えられた関数の指定された点における接平面の方程式を求めるものです。

(3) $z = xy$ の点 $(1, 0, 0)$ における接平面

(4) $z = \sqrt{x^2 + y^2}$ の点 $(1, 1, \sqrt{2})$ における接平面

(5) $z = 4\arctan(\frac{y}{x})$ の点 $(1, -1, -\pi)$ における接平面

2. 解き方の手順

接平面の方程式は、一般に $z = f(x, y)$ のとき、点 $(x_0, y_0, z_0)$ において

$z - z_0 = f_x(x_0, y_0)(x - x_0) + f_y(x_0, y_0)(y - y_0)$ で与えられます。

ここで、$f_x$ と $f_y$ はそれぞれ $x$ と $y$ に関する偏微分です。

(3) $z = xy$ の場合、

$f_x(x, y) = y$

$f_y(x, y) = x$

点 $(1, 0)$ における偏微分は、

$f_x(1, 0) = 0$

$f_y(1, 0) = 1$

よって、接平面の方程式は

$z - 0 = 0(x - 1) + 1(y - 0)$

$z = y$

(4) $z = \sqrt{x^2 + y^2}$ の場合、

$f_x(x, y) = \frac{x}{\sqrt{x^2 + y^2}}$

$f_y(x, y) = \frac{y}{\sqrt{x^2 + y^2}}$

点 $(1, 1)$ における偏微分は、

$f_x(1, 1) = \frac{1}{\sqrt{1^2 + 1^2}} = \frac{1}{\sqrt{2}}$

$f_y(1, 1) = \frac{1}{\sqrt{1^2 + 1^2}} = \frac{1}{\sqrt{2}}$

よって、接平面の方程式は

$z - \sqrt{2} = \frac{1}{\sqrt{2}}(x - 1) + \frac{1}{\sqrt{2}}(y - 1)$

$z = \frac{1}{\sqrt{2}}x + \frac{1}{\sqrt{2}}y$

(5) $z = 4\arctan(\frac{y}{x})$ の場合、

$f_x(x, y) = 4\frac{1}{1 + (\frac{y}{x})^2}(-\frac{y}{x^2}) = -\frac{4y}{x^2 + y^2}$

$f_y(x, y) = 4\frac{1}{1 + (\frac{y}{x})^2}(\frac{1}{x}) = \frac{4x}{x^2 + y^2}$

点 $(1, -1)$ における偏微分は、

$f_x(1, -1) = -\frac{4(-1)}{1^2 + (-1)^2} = \frac{4}{2} = 2$

$f_y(1, -1) = \frac{4(1)}{1^2 + (-1)^2} = \frac{4}{2} = 2$

よって、接平面の方程式は

$z - (-\pi) = 2(x - 1) + 2(y - (-1))$

$z + \pi = 2x - 2 + 2y + 2$

$z = 2x + 2y - \pi$

3. 最終的な答え

(3) $z = y$

(4) $z = \frac{1}{\sqrt{2}}x + \frac{1}{\sqrt{2}}y$

(5) $z = 2x + 2y - \pi$