50人の生徒が問題A, B, Cに挑戦しました。各問題を正解した人数、および2つの問題を正解した人数が与えられています。3つの問題をすべて正解した生徒の数を求めます。ただし、どの問題も解けなかった生徒はいません。

1. 問題の内容

50人の生徒が問題A, B, Cに挑戦しました。各問題を正解した人数、および2つの問題を正解した人数が与えられています。3つの問題をすべて正解した生徒の数を求めます。ただし、どの問題も解けなかった生徒はいません。

2. 解き方の手順

包含と排除の原理を利用します。

全体集合の要素数 $|U|$ を50、Aを正解した生徒の集合を$A$、Bを正解した生徒の集合を$B$、Cを正解した生徒の集合を$C$とします。

* $|A| = 31$

* $|B| = 26$

* $|C| = 29$

* $|A \cap B| = 13$

* $|B \cap C| = 17$

* $|C \cap A| = 15$

$|A \cup B \cup C| = |U| = 50$

包含と排除の原理より

$|A \cup B \cup C| = |A| + |B| + |C| - |A \cap B| - |B \cap C| - |C \cap A| + |A \cap B \cap C|$

したがって、

$50 = 31 + 26 + 29 - 13 - 17 - 15 + |A \cap B \cap C|$

$50 = 86 - 45 + |A \cap B \cap C|$

$50 = 41 + |A \cap B \cap C|$

$|A \cap B \cap C| = 50 - 41 = 9$

3. 最終的な答え

9人