2つの条件 $p$ と $q$ について、命題 $p \implies q$ と $q \implies p$ の真偽を調べ、空欄に「必要」、「十分」、「必要十分」のうち、最も適する言葉を入れる問題です。 (1) $p: x=2$, $q: |x|=2$ (2) $p: x \geq 1$, $q: x > 1$

1. 問題の内容

2つの条件 $p$ と $q$ について、命題 $p \implies q$ と $q \implies p$ の真偽を調べ、空欄に「必要」、「十分」、「必要十分」のうち、最も適する言葉を入れる問題です。

(1) $p: x=2$, $q: |x|=2$

(2) $p: x \geq 1$, $q: x > 1$

2. 解き方の手順

(1) $p: x=2$, $q: |x|=2$ について

* $p \implies q$ について：

$x=2$ ならば $|x|=2$ は真である。したがって、$p$ は $q$ であるための十分条件である。

* $q \implies p$ について：

$|x|=2$ ならば $x=2$ または $x=-2$ である。したがって、$x=2$ とは限らないので、偽である。したがって、$q$ は $p$ であるための必要条件である。

(2) $p: x \geq 1$, $q: x > 1$ について

* $p \implies q$ について：

$x \geq 1$ ならば $x > 1$ とは限らない。例えば $x=1$ のとき $x \geq 1$ だが $x > 1$ ではない。したがって、偽である。よって、$p$ は $q$ であるための必要条件である。

* $q \implies p$ について：

$x > 1$ ならば $x \geq 1$ は真である。したがって、$q$ は $p$ であるための十分条件である。

3. 最終的な答え

(1)

$p$ は $q$ であるための **十分** 条件

$q$ は $p$ であるための **必要** 条件

(2)

$p$ は $q$ であるための **必要** 条件

$q$ は $p$ であるための **十分** 条件