関数 $y = 4^x - 2^{x-1}$ ($x \le 1$) の最大値と最小値を求めよ。

1. 問題の内容

関数 $y = 4^x - 2^{x-1}$ ($x \le 1$) の最大値と最小値を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、$t = 2^x$ とおく。すると、$4^x = (2^x)^2 = t^2$ であるから、$y$ は $t$ の関数として次のように表せる。

$y = t^2 - \frac{1}{2}t$

$x \le 1$ より、$t = 2^x \le 2^1 = 2$ であり、$t>0$ である。

したがって、$0 < t \le 2$ の範囲で、$y = t^2 - \frac{1}{2}t$ の最大値と最小値を求める。

$y = t^2 - \frac{1}{2}t = (t - \frac{1}{4})^2 - \frac{1}{16}$

この関数は、$t = \frac{1}{4}$ で最小値 $-\frac{1}{16}$ をとる。

$0 < t \le 2$ の範囲で考えるので、$t = \frac{1}{4}$ はこの範囲に含まれる。したがって、$t = \frac{1}{4}$ のとき、$y$ は最小値 $-\frac{1}{16}$ をとる。このとき、$x$ は $2^x = \frac{1}{4} = 2^{-2}$ より $x = -2$。

$t = 2$ のとき、$y = 2^2 - \frac{1}{2} \times 2 = 4 - 1 = 3$

$0 < t \le 2$ の範囲で、$y$ のグラフは下に凸の放物線であるから、$t=2$ のとき最大値 $3$ をとる。

このとき、$x$ は $2^x = 2$ より $x = 1$。

3. 最終的な答え

最大値: $3$ ($x=1$ のとき)

最小値: $-\frac{1}{16}$ ($x=-2$ のとき)