曲線 $y = x^2 + 3$ と $x$ 軸、2直線 $x = 1$、$x = 3$ で囲まれた図形の面積 $S$ を求めよ。

1. 問題の内容

曲線 $y = x^2 + 3$ と $x$ 軸、2直線 $x = 1$、$x = 3$ で囲まれた図形の面積 $S$ を求めよ。

2. 解き方の手順

面積 $S$ は、定積分を用いて求めることができます。

$x$ の範囲は $1 \le x \le 3$ であり、$y = x^2 + 3$ は常に正であるため、$x$ 軸より上にあります。よって、面積 $S$ は次の積分で計算できます。

$S = \int_{1}^{3} (x^2 + 3) \, dx$

積分を実行します。

$\int_{1}^{3} (x^2 + 3) \, dx = \left[ \frac{1}{3} x^3 + 3x \right]_{1}^{3}$

積分範囲を代入します。

$\left( \frac{1}{3} (3)^3 + 3(3) \right) - \left( \frac{1}{3} (1)^3 + 3(1) \right)$

$= \left( \frac{1}{3} (27) + 9 \right) - \left( \frac{1}{3} + 3 \right)$

$= (9 + 9) - (\frac{1}{3} + 3)$

$= 18 - \frac{10}{3}$

$= \frac{54}{3} - \frac{10}{3}$

$= \frac{44}{3}$

3. 最終的な答え

$S = \frac{44}{3}$