二次関数 $f(x) = x^2 - 4x + 7$ が与えられています。$f(x)$ のグラフをx軸方向に1、y軸方向に-5だけ平行移動したグラフを表す二次関数を $g(x)$ とします。 (1) $y = f(x)$ のグラフの頂点の座標を求めます。 (2) $y = g(x)$ のグラフの頂点の座標を求め、さらに $0 \le x \le 4$ における $g(x)$ の最大値と最小値を求めます。

1. 問題の内容

二次関数 $f(x) = x^2 - 4x + 7$ が与えられています。$f(x)$ のグラフをx軸方向に1、y軸方向に-5だけ平行移動したグラフを表す二次関数を $g(x)$ とします。

(1) $y = f(x)$ のグラフの頂点の座標を求めます。

(2) $y = g(x)$ のグラフの頂点の座標を求め、さらに $0 \le x \le 4$ における $g(x)$ の最大値と最小値を求めます。

2. 解き方の手順

(1) $f(x) = x^2 - 4x + 7$ の頂点の座標を求める。

平方完成を行います。

$f(x) = x^2 - 4x + 4 + 3 = (x - 2)^2 + 3$

よって、$y = f(x)$ の頂点の座標は $(2, 3)$ です。

(2) $y = g(x)$ の頂点の座標を求める。

$f(x)$ のグラフをx軸方向に1、y軸方向に-5だけ平行移動したグラフが $g(x)$ なので、$g(x)$ の頂点は $f(x)$ の頂点を同じように平行移動させた点になります。

$f(x)$ の頂点は $(2, 3)$ なので、$g(x)$ の頂点は $(2+1, 3-5) = (3, -2)$ となります。

したがって、$g(x) = (x - 3)^2 - 2 = x^2 - 6x + 9 - 2 = x^2 - 6x + 7$ となります。

$0 \le x \le 4$ における $g(x)$ の最大値と最小値を求める。

$g(x)$ のグラフは下に凸の放物線であり、頂点は $(3, -2)$ です。

定義域は $0 \le x \le 4$ です。

頂点 $x=3$ は定義域に含まれているので、最小値は $g(3) = -2$ となります。

最大値は、定義域の端点である $x=0$ または $x=4$ でとります。

$g(0) = 0^2 - 6(0) + 7 = 7$

$g(4) = 4^2 - 6(4) + 7 = 16 - 24 + 7 = -1$

$g(0) = 7$ であり、$g(4) = -1$ なので、最大値は7となります。

3. 最終的な答え

(1) $f(x)$ のグラフの頂点の座標: $(2, 3)$

(2) $g(x)$ のグラフの頂点の座標: $(3, -2)$

$0 \le x \le 4$ における $g(x)$ の最大値: $7$

$0 \le x \le 4$ における $g(x)$ の最小値: $-2$