$y = x^2 - 3x - 4$ のグラフが $x$ 軸と2点 A, B で交わるとき、線分 AB の長さを求め、グラフを描画する。

1. 問題の内容

$y = x^2 - 3x - 4$ のグラフが $x$ 軸と2点 A, B で交わるとき、線分 AB の長さを求め、グラフを描画する。

2. 解き方の手順

まず、$x$ 軸との交点を求める。$x$ 軸との交点では $y = 0$ なので、以下の二次方程式を解く。

$x^2 - 3x - 4 = 0$

この二次方程式を因数分解する。

$(x - 4)(x + 1) = 0$

したがって、$x = 4$ または $x = -1$ となる。

つまり、点 A と B の $x$ 座標はそれぞれ 4 と -1 である。

点 A と B の座標はそれぞれ A(4, 0) と B(-1, 0) となる。

線分 AB の長さは、A と B の $x$ 座標の差の絶対値である。

$|4 - (-1)| = |4 + 1| = 5$

グラフを描画する。

$y = x^2 - 3x - 4$ の頂点の座標を求める。

平方完成すると、

$y = (x - \frac{3}{2})^2 - \frac{9}{4} - 4$

$y = (x - \frac{3}{2})^2 - \frac{25}{4}$

頂点の座標は $(\frac{3}{2}, -\frac{25}{4})$ である。

$y$ 切片は $x = 0$ のとき $y = -4$ である。

3. 最終的な答え

線分 AB の長さは 5 である。

グラフの概形は、頂点が $(\frac{3}{2}, -\frac{25}{4})$ で、$x$ 軸との交点が (4, 0) と (-1, 0), $y$ 切片が (0, -4) である放物線となる。