$\sum_{k=1}^{n} 4^k$ を求めよ。

1. 問題の内容

$\sum_{k=1}^{n} 4^k$ を求めよ。

2. 解き方の手順

この和は、初項が $4$、公比が $4$、項数が $n$ の等比数列の和です。等比数列の和の公式は、

$S_n = \frac{a(r^n - 1)}{r - 1}$

ここで、$S_n$ は等比数列の和、$a$ は初項、$r$ は公比、$n$ は項数を表します。

この問題の場合、$a = 4$, $r = 4$ ですから、

$S_n = \frac{4(4^n - 1)}{4 - 1} = \frac{4(4^n - 1)}{3}$

3. 最終的な答え

$\frac{4(4^n - 1)}{3}$