数列 $1\cdot3, 2\cdot4, 3\cdot5, \dots$ の初項から第 $n$ 項までの和を求める問題です。ただし、解答にはいくつかの空欄があり、それらを埋める必要があります。

1. 問題の内容

数列 $1\cdot3, 2\cdot4, 3\cdot5, \dots$ の初項から第 $n$ 項までの和を求める問題です。ただし、解答にはいくつかの空欄があり、それらを埋める必要があります。

2. 解き方の手順

まず、数列の第 $k$ 項が $k(k+2)$ であることに注目します。したがって、初項から第 $n$ 項までの和は、

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\sum_{k=1}^{n} k(k+2)

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で表されます。

この式を展開すると、

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\sum_{k=1}^{n} (k^2 + 2k) = \sum_{k=1}^{n} k^2 + 2\sum_{k=1}^{n} k

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となります。

$\sum_{k=1}^{n} k^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$ と $\sum_{k=1}^{n} k = \frac{n(n+1)}{2}$ を用いると、

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\sum_{k=1}^{n} k(k+2) = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6} + 2 \cdot \frac{n(n+1)}{2} = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6} + n(n+1)

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共通因数 $n(n+1)$ でくくると、

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\sum_{k=1}^{n} k(k+2) = n(n+1)\left(\frac{2n+1}{6} + 1\right) = n(n+1)\left(\frac{2n+1+6}{6}\right) = n(n+1)\left(\frac{2n+7}{6}\right)

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ここで、問題文にある形に合わせるために、分母が4になるように調整します。画像中の分母は4なので、何か間違っている可能性があります。

改めて$\sum_{k=1}^{n} k(k+2) = \sum_{k=1}^{n} (k^2 + 2k)$ を計算すると、

$$\sum_{k=1}^{n} k^2 + 2\sum_{k=1}^{n} k = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6} + 2 \frac{n(n+1)}{2} = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6} + n(n+1) = \frac{n(n+1)(2n+7)}{6}$$

問題文に合わせる形で書くと、

$\sum_{k=1}^{n} k(k+2)$ より、

$$\frac{n(n+1)(2n+7)}{6}$$

この式を変形して、分母が4になるように無理やり変形するとうまくいきません。

問題文中の式が間違っていると仮定すると、$k(k+1)$ではなく、$k(k+2)$が正しいです。

1つ目の空欄は2, 2つ目の空欄は7, 3つ目の空欄は6であると推測されます。

画像中の

$\frac{n(n+1)(2n+3)}{4}$ は誤り。

正しくは、 $\frac{n(n+1)(2n+7)}{6}$

3. 最終的な答え

$\sum_{k=1}^{n} k(k+2) = \frac{n(n+1)(2n+7)}{6}$