与えられた数列の和を求める問題です。具体的には、$\sum_{k=1}^{n} (-\frac{1}{2})^k$ を計算します。これは初項が $-\frac{1}{2}$、公比が $-\frac{1}{2}$ の等比数列の和です。

1. 問題の内容

与えられた数列の和を求める問題です。具体的には、$\sum_{k=1}^{n} (-\frac{1}{2})^k$ を計算します。これは初項が $-\frac{1}{2}$、公比が $-\frac{1}{2}$ の等比数列の和です。

2. 解き方の手順

等比数列の和の公式を利用します。初項を $a$、公比を $r$、項数を $n$ とすると、等比数列の和 $S_n$ は次のように表されます。

$S_n = \frac{a(1-r^n)}{1-r}$

今回の問題では、$a = -\frac{1}{2}$、$r = -\frac{1}{2}$ ですので、これを公式に代入します。

$S_n = \frac{-\frac{1}{2}(1-(-\frac{1}{2})^n)}{1-(-\frac{1}{2})} = \frac{-\frac{1}{2}(1-(-\frac{1}{2})^n)}{\frac{3}{2}}$

さらに式を整理します。

$S_n = -\frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3}(1-(-\frac{1}{2})^n) = -\frac{1}{3}(1-(-\frac{1}{2})^n)$

$S_n = -\frac{1}{3} + \frac{1}{3}(-\frac{1}{2})^n = \frac{1}{3}((-\frac{1}{2})^n - 1)$

3. 最終的な答え

$\frac{1}{3}((-\frac{1}{2})^n - 1)$