関数 $y = x^{\log x}$ の微分を求める問題です。ここで、$\log$ は常用対数、つまり底が10の対数であると仮定します。

解析学微分対数関数合成関数の微分指数関数
2025/7/6

1. 問題の内容

関数 y=xlogxy = x^{\log x} の微分を求める問題です。ここで、log\log は常用対数、つまり底が10の対数であると仮定します。

2. 解き方の手順

まず、両辺の常用対数をとります。
logy=log(xlogx)\log y = \log (x^{\log x})
対数の性質 log(ab)=bloga\log (a^b) = b \log a を使うと、
logy=(logx)(logx)=(logx)2\log y = (\log x) (\log x) = (\log x)^2
次に、両辺を xx で微分します。左辺は合成関数の微分なので、
1ydydx\frac{1}{y} \frac{dy}{dx}
となります。
右辺は(logx)2(\log x)^2なので、まず全体を微分して、2logx2\log x になり、次にlogx\log x を微分すると、1/(xln10)1/(x \ln 10)になります。
したがって、
ddx(logx)2=2(logx)1xln10\frac{d}{dx} (\log x)^2 = 2 (\log x) \frac{1}{x \ln 10}
両辺を微分した結果は次のようになります。
1ydydx=2logxxln10\frac{1}{y} \frac{dy}{dx} = \frac{2 \log x}{x \ln 10}
ここで、両辺に yy をかけると、dydx\frac{dy}{dx} が求められます。
dydx=y2logxxln10\frac{dy}{dx} = y \frac{2 \log x}{x \ln 10}
y=xlogxy = x^{\log x} であるから、
dydx=xlogx2logxxln10\frac{dy}{dx} = x^{\log x} \frac{2 \log x}{x \ln 10}

3. 最終的な答え

dydx=2xlogxlogxxln10\frac{dy}{dx} = \frac{2 x^{\log x} \log x}{x \ln 10}

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