関数 $y = x^{\log x}$ の微分を求める問題です。ここで、$\log$ は常用対数、つまり底が10の対数であると仮定します。解析学微分対数関数合成関数の微分指数関数2025/7/61. 問題の内容関数 y=xlogxy = x^{\log x}y=xlogx の微分を求める問題です。ここで、log\loglog は常用対数、つまり底が10の対数であると仮定します。2. 解き方の手順まず、両辺の常用対数をとります。logy=log(xlogx)\log y = \log (x^{\log x})logy=log(xlogx)対数の性質 log(ab)=bloga\log (a^b) = b \log alog(ab)=bloga を使うと、logy=(logx)(logx)=(logx)2\log y = (\log x) (\log x) = (\log x)^2logy=(logx)(logx)=(logx)2次に、両辺を xxx で微分します。左辺は合成関数の微分なので、1ydydx\frac{1}{y} \frac{dy}{dx}y1dxdyとなります。右辺は(logx)2(\log x)^2(logx)2なので、まず全体を微分して、2logx2\log x2logx になり、次にlogx\log xlogx を微分すると、1/(xln10)1/(x \ln 10)1/(xln10)になります。したがって、ddx(logx)2=2(logx)1xln10\frac{d}{dx} (\log x)^2 = 2 (\log x) \frac{1}{x \ln 10}dxd(logx)2=2(logx)xln101両辺を微分した結果は次のようになります。1ydydx=2logxxln10\frac{1}{y} \frac{dy}{dx} = \frac{2 \log x}{x \ln 10}y1dxdy=xln102logxここで、両辺に yyy をかけると、dydx\frac{dy}{dx}dxdy が求められます。dydx=y2logxxln10\frac{dy}{dx} = y \frac{2 \log x}{x \ln 10}dxdy=yxln102logxy=xlogxy = x^{\log x}y=xlogx であるから、dydx=xlogx2logxxln10\frac{dy}{dx} = x^{\log x} \frac{2 \log x}{x \ln 10}dxdy=xlogxxln102logx3. 最終的な答えdydx=2xlogxlogxxln10\frac{dy}{dx} = \frac{2 x^{\log x} \log x}{x \ln 10}dxdy=xln102xlogxlogx