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与えられた範囲 $0 \le \theta < 2\pi$ で、以下の三角関数の方程式と不等式を解きます。 (1) $\sin \theta - \sqrt{3} \cos \theta = -1$ (2) $\sin \theta - \cos \theta < 1$

解析学三角関数三角方程式三角不等式三角関数の合成
2025/7/13

1. 問題の内容

与えられた範囲 0≤θ<2π0 \le \theta < 2\pi で、以下の三角関数の方程式と不等式を解きます。
(1) sin⁡θ−3cos⁡θ=−1\sin \theta - \sqrt{3} \cos \theta = -1
(2) sin⁡θ−cos⁡θ<1\sin \theta - \cos \theta < 1

2. 解き方の手順

(1) sin⁡θ−3cos⁡θ=−1\sin \theta - \sqrt{3} \cos \theta = -1 を解く。
まず、左辺を合成します。
R=12+(−3)2=1+3=4=2R = \sqrt{1^2 + (-\sqrt{3})^2} = \sqrt{1 + 3} = \sqrt{4} = 2
cos⁡α=12\cos \alpha = \frac{1}{2} 、sin⁡α=−32\sin \alpha = -\frac{\sqrt{3}}{2} となる α\alpha を求めると、α=−π3\alpha = -\frac{\pi}{3} です。
したがって、与式は
2sin⁡(θ−π3)=−12\sin(\theta - \frac{\pi}{3}) = -1
sin⁡(θ−π3)=−12\sin(\theta - \frac{\pi}{3}) = -\frac{1}{2}
ここで、θ−π3=t\theta - \frac{\pi}{3} = t とおくと、sin⁡t=−12\sin t = -\frac{1}{2} となります。
0≤θ<2π0 \le \theta < 2\pi より、−π3≤t<2π−π3=5π3-\frac{\pi}{3} \le t < 2\pi - \frac{\pi}{3} = \frac{5\pi}{3} です。
この範囲で、sin⁡t=−12\sin t = -\frac{1}{2} を満たす tt は、
t=7π6,11π6t = \frac{7\pi}{6}, \frac{11\pi}{6}
したがって、
θ−π3=7π6\theta - \frac{\pi}{3} = \frac{7\pi}{6} または θ−π3=11π6\theta - \frac{\pi}{3} = \frac{11\pi}{6}
θ=7π6+π3=7π6+2π6=9π6=3π2\theta = \frac{7\pi}{6} + \frac{\pi}{3} = \frac{7\pi}{6} + \frac{2\pi}{6} = \frac{9\pi}{6} = \frac{3\pi}{2}
θ=11π6+π3=11π6+2π6=13π6\theta = \frac{11\pi}{6} + \frac{\pi}{3} = \frac{11\pi}{6} + \frac{2\pi}{6} = \frac{13\pi}{6}
しかし、0≤θ<2π0 \le \theta < 2\pi であるから、θ=13π6\theta = \frac{13\pi}{6} は解ではありません。したがって、θ=3π2\theta = \frac{3\pi}{2} だけが解です。
(2) sin⁡θ−cos⁡θ<1\sin \theta - \cos \theta < 1 を解く。
左辺を合成します。
R=12+(−1)2=2R = \sqrt{1^2 + (-1)^2} = \sqrt{2}
cos⁡α=12\cos \alpha = \frac{1}{\sqrt{2}} 、sin⁡α=−12\sin \alpha = -\frac{1}{\sqrt{2}} となる α\alpha を求めると、α=−π4\alpha = -\frac{\pi}{4} です。
したがって、与式は
2sin⁡(θ−π4)<1\sqrt{2} \sin(\theta - \frac{\pi}{4}) < 1
sin⁡(θ−π4)<12\sin(\theta - \frac{\pi}{4}) < \frac{1}{\sqrt{2}}
ここで、θ−π4=t\theta - \frac{\pi}{4} = t とおくと、sin⁡t<12\sin t < \frac{1}{\sqrt{2}} となります。
0≤θ<2π0 \le \theta < 2\pi より、−π4≤t<2π−π4=7π4-\frac{\pi}{4} \le t < 2\pi - \frac{\pi}{4} = \frac{7\pi}{4} です。
この範囲で、sin⁡t<12\sin t < \frac{1}{\sqrt{2}} を満たす tt は、
−π4≤t<π4-\frac{\pi}{4} \le t < \frac{\pi}{4} または 3π4<t<7π4\frac{3\pi}{4} < t < \frac{7\pi}{4}
したがって、
−π4≤θ−π4<π4-\frac{\pi}{4} \le \theta - \frac{\pi}{4} < \frac{\pi}{4} または 3π4<θ−π4<7π4\frac{3\pi}{4} < \theta - \frac{\pi}{4} < \frac{7\pi}{4}
0≤θ<π20 \le \theta < \frac{\pi}{2} または π<θ<2π\pi < \theta < 2\pi

3. 最終的な答え

(1) θ=3π2\theta = \frac{3\pi}{2}
(2) 0≤θ<π20 \le \theta < \frac{\pi}{2}, π<θ<2π\pi < \theta < 2\pi

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