集合 $A = \{-3, 2, a^2 - 9a + 25, 2a + 3\}$ と $B = \{-2, a^2 - 4a - 10, a^2 - 5a + 1, a + 6, 16\}$ が与えられており、$A \cap B = \{2, 7\}$ である。 (1) $A \cup B$ を求める。 (2) $\overline{A} \cap B$ を求める。

1. 問題の内容

集合 $A = \{-3, 2, a^2 - 9a + 25, 2a + 3\}$ と $B = \{-2, a^2 - 4a - 10, a^2 - 5a + 1, a + 6, 16\}$ が与えられており、$A \cap B = \{2, 7\}$ である。

(1) $A \cup B$ を求める。

(2) $\overline{A} \cap B$ を求める。

2. 解き方の手順

まず、$A \cap B = \{2, 7\}$ から、$A$ と $B$ の両方に 2 と 7 が含まれていることがわかる。

$A$ にはすでに 2 が含まれているので、残りの要素 $a^2 - 9a + 25$ と $2a + 3$ のどちらかが 7 である必要がある。

同様に、$B$ には 2 も 7 も含まれている必要がある。

(1)

* $2a + 3 = 7$ の場合、$2a = 4$ より $a = 2$ である。

このとき、$A = \{-3, 2, 4 - 18 + 25, 7\} = \{-3, 2, 11, 7\}$、$B = \{-2, 4 - 8 - 10, 4 - 10 + 1, 2 + 6, 16\} = \{-2, -14, -5, 8, 16\}$。

このとき、$A \cap B = \{ \}$ となり、$A \cap B = \{2, 7\}$ に矛盾する。

* $a^2 - 9a + 25 = 7$ の場合、$a^2 - 9a + 18 = 0$ より $(a - 3)(a - 6) = 0$ となる。

したがって、$a = 3$ または $a = 6$ である。

* $a = 3$ の場合、$A = \{-3, 2, 7, 9\}$、$B = \{-2, 9 - 12 - 10, 9 - 15 + 1, 3 + 6, 16\} = \{-2, -13, -5, 9, 16\}$。

このとき、$A \cap B = \{2, 7\}$は満たさない。$A \cap B = \{9\}$

なので、$A$と$B$の要素を確認する必要がある。

もし、$a=3$ならば、$A=\{-3,2,7,9\}$、$B=\{-2,-13,-5,9,16\}$となる。しかし、$A\cap B = \{9\} \ne \{2,7\}$なので、$a=3$は不適。

* $a = 6$ の場合、$A = \{-3, 2, 7, 15\}$、$B = \{-2, 36 - 24 - 10, 36 - 30 + 1, 6 + 6, 16\} = \{-2, 2, 7, 12, 16\}$。

このとき、$A \cap B = \{2, 7\}$ となるので、$a = 6$ は条件を満たす。

$A = \{-3, 2, 7, 15\}$、$B = \{-2, 2, 7, 12, 16\}$ より、$A \cup B = \{-3, -2, 2, 7, 12, 15, 16\}$。

(2)

$a = 6$ のとき、$A = \{-3, 2, 7, 15\}$、$B = \{-2, 2, 7, 12, 16\}$。

$\overline{A}$ は $A$ に含まれない要素の集合を表す。

$\overline{A} \cap B$ は $B$ のうち $A$ に含まれない要素の集合である。

$B = \{-2, 2, 7, 12, 16\}$ のうち、$A$ に含まれる要素は $\{2, 7\}$ なので、

$\overline{A} \cap B = \{-2, 12, 16\}$。

3. 最終的な答え

(1) $A \cup B = \{-3, -2, 2, 7, 12, 15, 16\}$

(2) $\overline{A} \cap B = \{-2, 12, 16\}$