関数 $y = \frac{(x+1)^3}{(3x-1)^2(2x+1)^4}$ の両辺に絶対値の自然対数をとり、微分して $\frac{dy}{dx}$ を求めよ。

1. 問題の内容

関数 $y = \frac{(x+1)^3}{(3x-1)^2(2x+1)^4}$ の両辺に絶対値の自然対数をとり、微分して $\frac{dy}{dx}$ を求めよ。

2. 解き方の手順

1. 両辺の絶対値の自然対数をとる：

$\ln|y| = \ln\left|\frac{(x+1)^3}{(3x-1)^2(2x+1)^4}\right|$

$\ln|y| = \ln|(x+1)^3| - \ln|(3x-1)^2| - \ln|(2x+1)^4|$

$\ln|y| = 3\ln|x+1| - 2\ln|3x-1| - 4\ln|2x+1|$

2. 両辺を $x$ で微分する：

$\frac{1}{y} \frac{dy}{dx} = \frac{3}{x+1} - \frac{2 \cdot 3}{3x-1} - \frac{4 \cdot 2}{2x+1}$

$\frac{1}{y} \frac{dy}{dx} = \frac{3}{x+1} - \frac{6}{3x-1} - \frac{8}{2x+1}$

3. $\frac{dy}{dx}$ について解く：

$\frac{dy}{dx} = y\left(\frac{3}{x+1} - \frac{6}{3x-1} - \frac{8}{2x+1}\right)$

$\frac{dy}{dx} = \frac{(x+1)^3}{(3x-1)^2(2x+1)^4}\left(\frac{3}{x+1} - \frac{6}{3x-1} - \frac{8}{2x+1}\right)$

4. 式を整理する:

$\frac{dy}{dx} = \frac{(x+1)^3}{(3x-1)^2(2x+1)^4} \left( \frac{3(3x-1)(2x+1) - 6(x+1)(2x+1) - 8(x+1)(3x-1)}{(x+1)(3x-1)(2x+1)} \right)$

$\frac{dy}{dx} = \frac{(x+1)^2}{(3x-1)^3(2x+1)^5} \left( 3(6x^2 -x -1) - 6(2x^2 +3x +1) - 8(3x^2 +2x -1) \right)$

$\frac{dy}{dx} = \frac{(x+1)^2}{(3x-1)^3(2x+1)^5} \left( 18x^2 -3x -3 - 12x^2 -18x -6 - 24x^2 -16x +8 \right)$

$\frac{dy}{dx} = \frac{(x+1)^2}{(3x-1)^3(2x+1)^5} \left( -18x^2 -37x -1 \right)$

$\frac{dy}{dx} = \frac{-(x+1)^2(18x^2 + 37x + 1)}{(3x-1)^3(2x+1)^5}$

3. 最終的な答え

$\frac{dy}{dx} = -\frac{(x+1)^2(18x^2 + 37x + 1)}{(3x-1)^3(2x+1)^5}$