## 1. 問題の内容

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1. 問題の内容

以下の6つの定積分を計算する問題です。

(1) $\int_{-2}^{2} \frac{3}{x^2 + 4} dx$

(2) $\int_{0}^{1} \frac{1}{3x - 6} dx$

(3) $\int_{1}^{2} (3x^2 + \frac{5}{x} - \frac{2}{x^3}) dx$

(4) $\int_{1}^{3} \frac{x^3 - x + 2}{x^2} dx$

(5) $\int_{-3}^{-2} \frac{x+2}{x^2 + x} dx$

(6) $\int_{-1}^{0} \frac{x+8}{x^2 + x - 2} dx$

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2. 解き方の手順

各積分を個別に計算します。

**(1) $\int_{-2}^{2} \frac{3}{x^2 + 4} dx$**

$x = 2\tan{\theta}$ と置換すると、$dx = 2\sec^2{\theta} d\theta$ となります。

$x^2 + 4 = 4\tan^2{\theta} + 4 = 4\sec^2{\theta}$ となります。

積分範囲は、$x = -2$ のとき $\theta = -\frac{\pi}{4}$、$x = 2$ のとき $\theta = \frac{\pi}{4}$ となります。

$\int_{-2}^{2} \frac{3}{x^2 + 4} dx = \int_{-\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{4}} \frac{3}{4\sec^2{\theta}} 2\sec^2{\theta} d\theta = \int_{-\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{4}} \frac{3}{2} d\theta = \frac{3}{2} [\theta]_{-\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{4}} = \frac{3}{2} (\frac{\pi}{4} - (-\frac{\pi}{4})) = \frac{3\pi}{4}$

**(2) $\int_{0}^{1} \frac{1}{3x - 6} dx$**

$u = 3x - 6$ と置換すると、$du = 3dx$ となります。

積分範囲は、$x = 0$ のとき $u = -6$、$x = 1$ のとき $u = -3$ となります。

$\int_{0}^{1} \frac{1}{3x - 6} dx = \int_{-6}^{-3} \frac{1}{u} \frac{1}{3} du = \frac{1}{3} [\ln{|u|}]_{-6}^{-3} = \frac{1}{3} (\ln{3} - \ln{6}) = \frac{1}{3} \ln{\frac{3}{6}} = \frac{1}{3} \ln{\frac{1}{2}} = -\frac{\ln{2}}{3}$

**(3) $\int_{1}^{2} (3x^2 + \frac{5}{x} - \frac{2}{x^3}) dx$**

$\int_{1}^{2} (3x^2 + \frac{5}{x} - \frac{2}{x^3}) dx = [x^3 + 5\ln{|x|} + \frac{1}{x^2}]_{1}^{2} = (8 + 5\ln{2} + \frac{1}{4}) - (1 + 5\ln{1} + 1) = 8 + 5\ln{2} + \frac{1}{4} - 2 = 6 + 5\ln{2} + \frac{1}{4} = \frac{25}{4} + 5\ln{2}$

**(4) $\int_{1}^{3} \frac{x^3 - x + 2}{x^2} dx$**

$\int_{1}^{3} \frac{x^3 - x + 2}{x^2} dx = \int_{1}^{3} (x - \frac{1}{x} + \frac{2}{x^2}) dx = [\frac{x^2}{2} - \ln{|x|} - \frac{2}{x}]_{1}^{3} = (\frac{9}{2} - \ln{3} - \frac{2}{3}) - (\frac{1}{2} - \ln{1} - 2) = \frac{9}{2} - \ln{3} - \frac{2}{3} - \frac{1}{2} + 2 = 4 - \ln{3} - \frac{2}{3} + 2 = 6 - \ln{3} - \frac{2}{3} = \frac{16}{3} - \ln{3}$

**(5) $\int_{-3}^{-2} \frac{x+2}{x^2 + x} dx$**

$\frac{x+2}{x^2 + x} = \frac{x+2}{x(x+1)} = \frac{A}{x} + \frac{B}{x+1}$ と部分分数分解します。

$x+2 = A(x+1) + Bx$ となります。

$x = 0$ のとき $2 = A$、$x = -1$ のとき $1 = -B$ より、$B = -1$ となります。

$\int_{-3}^{-2} \frac{x+2}{x^2 + x} dx = \int_{-3}^{-2} (\frac{2}{x} - \frac{1}{x+1}) dx = [2\ln{|x|} - \ln{|x+1|}]_{-3}^{-2} = (2\ln{2} - \ln{1}) - (2\ln{3} - \ln{2}) = 2\ln{2} - 2\ln{3} + \ln{2} = 3\ln{2} - 2\ln{3} = \ln{8} - \ln{9} = \ln{\frac{8}{9}}$

**(6) $\int_{-1}^{0} \frac{x+8}{x^2 + x - 2} dx$**

$\frac{x+8}{x^2 + x - 2} = \frac{x+8}{(x+2)(x-1)} = \frac{A}{x+2} + \frac{B}{x-1}$ と部分分数分解します。

$x+8 = A(x-1) + B(x+2)$ となります。

$x = 1$ のとき $9 = 3B$ より $B = 3$、$x = -2$ のとき $6 = -3A$ より $A = -2$ となります。

$\int_{-1}^{0} \frac{x+8}{x^2 + x - 2} dx = \int_{-1}^{0} (\frac{-2}{x+2} + \frac{3}{x-1}) dx = [-2\ln{|x+2|} + 3\ln{|x-1|}]_{-1}^{0} = (-2\ln{2} + 3\ln{1}) - (-2\ln{1} + 3\ln{2}) = -2\ln{2} - 3\ln{2} = -5\ln{2}$

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3. 最終的な答え

(1) $\frac{3\pi}{4}$

(2) $-\frac{\ln{2}}{3}$

(3) $\frac{25}{4} + 5\ln{2}$

(4) $\frac{16}{3} - \ln{3}$

(5) $\ln{\frac{8}{9}}$

(6) $-5\ln{2}$