次の極限を求めよ。 $\lim_{n \to \infty} \frac{1}{\sqrt{n}} \left( \frac{1}{\sqrt{n+1}} + \frac{1}{\sqrt{n+2}} + \dots + \frac{1}{\sqrt{2n}} \right)$

1. 問題の内容

次の極限を求めよ。

$\lim_{n \to \infty} \frac{1}{\sqrt{n}} \left( \frac{1}{\sqrt{n+1}} + \frac{1}{\sqrt{n+2}} + \dots + \frac{1}{\sqrt{2n}} \right)$

2. 解き方の手順

この極限はリーマン和の形に書き換えることで求めることができます。

まず、総和の部分をシグマで表します。

$\frac{1}{\sqrt{n}} \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{\sqrt{n+k}}$

次に、$\sqrt{n}$ をシグマの中に組み込みます。

$\sum_{k=1}^{n} \frac{1}{\sqrt{n(n+k)}}$

さらに、$\frac{1}{n}$ を作り出すために、$\sqrt{n^2}$で割ります。

$\sum_{k=1}^{n} \frac{1}{n} \frac{1}{\sqrt{1 + \frac{k}{n}}}$

これは、$f(x) = \frac{1}{\sqrt{1+x}}$ の $x \in [0, 1]$ におけるリーマン和を表しているので、定積分で表すことができます。

$\lim_{n \to \infty} \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{n} \frac{1}{\sqrt{1 + \frac{k}{n}}} = \int_0^1 \frac{1}{\sqrt{1+x}} dx$

積分を実行します。

$\int_0^1 \frac{1}{\sqrt{1+x}} dx = \int_0^1 (1+x)^{-\frac{1}{2}} dx = \left[ 2(1+x)^{\frac{1}{2}} \right]_0^1 = 2(\sqrt{2} - 1)$

3. 最終的な答え

$2\sqrt{2} - 2$