(1) 関数 $f(x) = \frac{1}{1-x}$ に対して、$n$階導関数 $f^{(n)}(x)$ と $f^{(n)}(0)$ を求めます。

1. 問題の内容

(1) 関数 $f(x) = \frac{1}{1-x}$ に対して、$n$階導関数 $f^{(n)}(x)$ と $f^{(n)}(0)$ を求めます。

2. 解き方の手順

まず、$f(x)$ の導関数をいくつか計算して、$f^{(n)}(x)$ の形を推測します。

$f(x) = (1-x)^{-1}$

$f'(x) = (-1)(1-x)^{-2}(-1) = (1-x)^{-2}$

$f''(x) = (-2)(1-x)^{-3}(-1) = 2(1-x)^{-3}$

$f'''(x) = 2(-3)(1-x)^{-4}(-1) = 6(1-x)^{-4}$

これらの結果から、$f^{(n)}(x)$ は以下の形になると推測できます。

$f^{(n)}(x) = n!(1-x)^{-(n+1)} = \frac{n!}{(1-x)^{n+1}}$

数学的帰納法で証明します。

$n=1$ のとき、$f'(x) = \frac{1}{(1-x)^2} = \frac{1!}{(1-x)^{1+1}}$ となり、成立します。

$n=k$ で成立すると仮定します。つまり、$f^{(k)}(x) = \frac{k!}{(1-x)^{k+1}}$ が成立するとします。

$n=k+1$ のとき、$f^{(k+1)}(x)$ を計算します。

$f^{(k+1)}(x) = \frac{d}{dx} f^{(k)}(x) = \frac{d}{dx} \frac{k!}{(1-x)^{k+1}} = k! \frac{d}{dx} (1-x)^{-(k+1)}$

$= k!(-(k+1))(1-x)^{-(k+2)}(-1) = k!(k+1)(1-x)^{-(k+2)} = (k+1)!(1-x)^{-(k+2)} = \frac{(k+1)!}{(1-x)^{k+2}}$

したがって、$n=k+1$ でも成立します。

よって、$f^{(n)}(x) = \frac{n!}{(1-x)^{n+1}}$ が全ての自然数 $n$ に対して成立します。

次に、$f^{(n)}(0)$ を求めます。

$f^{(n)}(0) = \frac{n!}{(1-0)^{n+1}} = \frac{n!}{1^{n+1}} = n!$

3. 最終的な答え

$f^{(n)}(x) = \frac{n!}{(1-x)^{n+1}}$

$f^{(n)}(0) = n!$